Determina le funzioni (C → C) z  z1·z e z z2·z che, rispettivamente, trasformano il triangolo piccolo in quello grosso e viceversa. |
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| In entrambi i casi si tratta di una composizione di una trasformazione di scala monometrica (omotetia) di fattore
pari al modulo del numero per cui z viene moltiplicato e di una rotazione di ampiezza pari all'argomento del numero stesso.
Per trovare questo numero basta imporre che la moltiplicazione per esso associ a un punto il suo trasformato.
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Per trovare z1, che scriviamo come x1+iy1 con x1 e y1 numeri reali, osserviamo che (2,1) viene trasformato in (7,1). Quindi dobbiamo imporre che:
(2+i)(x1+iy1) = 7+i
2x1-y1+
(2y1+x1)i = 7+i
2x1-y1 = 7 AND 2y1+x1 = 1
4x1-2y1 = 14 AND 2y1+x1 = 1
5x1 = 15 AND 2y1+x1 = 1
x1 = 3 AND 2y1+3 = 1
x1 = 3 AND y1 = -1 z1 = 3-i
z2 è il reciproco di z1. Posso trovarlo in
vari modi. In questo caso è semplice fare:
1/(3 - i) = (3 + i)/( (3 - i)(3 + i) ) = (3 + i)/(32+i2)
= 3/10 + i/10
Con R o WolframAlpha: 1/(3-1i) fornisce 0.3+0.1i
Per altri commenti:
I numeri complessi neGli Oggetti Matematici.
# rappresentazioni grafiche con R
source("http://macosa.dima.unige.it/R/r.R")
PIANO(0,11, 0,11)
x <- c(1,2,3,1); y <- c(3,1,2,3); z = x+y*1i
spezzaC(x,y, "yellow")
f = function(z) (3-1i)*z; spezzaC(Re( f(z) ),Im( f(z) ), "green")
# la funzione inversa:
g = function(z) (3/10+1i/10)*z
# la applico alla nuova figura
spezzaC(Re( g(f(z)) ),Im( g(f(z)) ), "red")
# OK: riottengo la figura iniziale
La figura con WolframAlpha [polygon(0,0),(0,0) è stato aggiunto in modo che la parte di piano rappresentata contenga il punto (0,0)]:
triangle (2,1),(3,2),(1,3), triangle (7,1),(11,3),(6,8), polygon (0,0),(0,0)
