Siano O = (0,0), P = (1,1). Traccia il segmento OP e le sue immagini mediante le trasformazioni geometriche descritte dalle funzioni C → C così definite:

_ 2 4 F(z) = i + z, G(z) = -i z, H(z) = - z, K(z) = z , L(z) = z

F: x+iy (x+iy)+i = x+i(1+y) trasla del vettore (0,1) tutti i punti del segmento. G può essere pensata come la composizione di una moltiplicazione per i, che ruota di 90° (arg(i) = 90°), e di una negazione, o moltpilicazione per -1, che fa il simmetrico rispetto a O, ovvero ruota di 180°; quindi in tutto il segmento viene ruotato di -90°. La cosa poteva essere anche dedotta subito pensando G come una moltiplicazione per -i, che ha 270° come argomento.

H: il coniugato si ottiene facendo l'opposto della parte immaginaria; quindi la composizione di una coniugazione e di una negazione corrisponde a fare una simmetria rispetto all'asse x e poi una rotazione di 180° K: z2 ha come modulo il quadrato del modulo di z e come argomento il suo doppio: quindi i punti del nostro segmento, che corrispondono a numeri complessi di modulo compreso tra 0 e √2 ed argomento pari a 45°, vengono trasformati nel segmento (0,0)-(0,2) (numeri di modulo tra 0 e 2 ed argomento pari a 90°). L: z4 è il quadrato di z2: raddoppio ulteriormente l'argomento ed elevo ulteriormente al quadrato il modulo: ottengo il segmento (0,0)-(-4,0).

Per altri commenti: I numeri complessi neGli Oggetti Matematici.

# Come ottenere la figura con R:
source("http://macosa.dima.unige.it/R/r.R")
BF=4; HF=2.5
PIANO(-5,2, -1.5,2.5)
p=1+1i; segm(0,0, Re(p),Im(p), "black")
F = function(z) 1i+z; segm(Re(F(0)),Im(F(0)), Re(F(p)),Im(F(p)), "blue")
F = function(z) -1i*z; segm(Re(F(0)),Im(F(0)), Re(F(p)),Im(F(p)), "red")
F = function(z) -Conj(z); segm(Re(F(0)),Im(F(0)), Re(F(p)),Im(F(p)), "seagreen")
F = function(z) z^2; segm(Re(F(0)),Im(F(0)), Re(F(p)),Im(F(p)), "magenta")
F = function(z) z^4; segm(Re(F(0)),Im(F(0)), Re(F(p)),Im(F(p)), "brown")

La figura ottenuta col software online WolframAlpha:

rectangle (-5,-2),(3,-2),(3,3),(-5,3), line segment(0,0),(1,1), line segment(0,1),(1,2)

Traccio una prima coppia di segmenti e copio la figura in Paint o un'altra applicazione grafica e coloro di bianco l'interno del rettangolo. Poi traccio gli altri segmenti e incollo in trasparenza la figura sulla precedente dopo avere colorato di bianco l'interno del rettangolo. E così via.

rectangle (-5,-2),(3,-2),(3,3),(-5,3), line segment(0,0),(1,-1), line segment(0,0),(-1,1)
rectangle (-5,-2),(3,-2),(3,3),(-5,3), line segment(0,0),(-4,0), line segment(0,0),(0,2)