Sia F la funzione che al numero complesso z associa |1+z|²+|1−z|².
Verifica (con R o WolframAlpha o …) che F(z) = (Re(z)²+Im(z)²+1)·2.
Trova il valore minimo che assume
# Con R F <- function(x,y) abs(1+x+y*1i)^2+abs(1-x-y*1i)^2 G <- function(x,y) 2*(x^2+y^2+1) # provo con 15 input a caso in [-5,5]*[-5,5] x <- runif(15)*10-5; y <- runif(15)*10-5 F(x,y)-G(x,y) # 0.000000e+00 0.000000e+00 -7.105427e-15 8.881784e-16 -7.105427e-15 # 0.000000e+00 -1.776357e-15 -8.881784e-16 7.105427e-15 0.000000e+00 # 3.552714e-15 -7.105427e-15 1.421085e-14 0.000000e+00 -1.421085e-14 # OK. A questo punto è facile dedurre che (0,0) è un punto di minimo e # che ivi F vale 2. Grafico: x <- y <- seq(-2, 2, len = 30) z <- outer(x, y, F) A <- persp(x, y, z, theta = 55, phi = 2, expand = 0.5, col="grey", ticktype="detailed", zlim=c(0,20)) lines(trans3d(x=c(-2,2),y=c(0,-0),z=c(0,0),pmat=A), col="red") lines(trans3d(y=c(-2,2),x=c(0,-0),z=c(0,0),pmat=A), col="red") lines(trans3d(y=c(0,0),x=c(0,-0),z=c(0,20),pmat=A), col="red",lty=3)
Col software online WolframAlpha (vedi):
simplify |1+z|^2+|1-z|^2, z = x*iy2 x^2 y^2 + 2 [ = (Re(z)²+Im(z)²+1)·2 ] minimize 2*x^2 *y^2 + 2 min{2 x^2 y^2 + 2} = 2 for x = 0 min{2 x^2 y^2 + 2} = 2 for y = 0
Per altri commenti: 
I numeri complessi neGli Oggetti Matematici.