La tabella a fianco mostra che ogni numero naturale può essere associato ad un numero pari eguale al suo doppio e che, viceversa, ogni numero intero pari può essere associato al numero naturale eguale alla sua metà. Dunque, i numeri naturali sono tanti quanti i numeri naturali pari? Prova a discutere la questione.

0   1   2   3   4   5   6    …   0 2 4 6 8 10 12 …

La questione qui proposta era stata messa in luce da Galileo. Il problema è dovuto ad un trasferimento improprio al caso infinito del fatto che due insiemi finiti non possono essere equinumerosi (ossia messi in corrispondenza biunivoca) quando gli elementi dell'uno possono essere messi in corrispondenza con quelli dell'altro mediante una funzione iniettiva e non surgettiva (posso associare ad ognuno degli elementi di un insieme formato da tre elementi un elemento distinto di un insieme formato da quattro elementi, ma questa associazione non mi permette di arrivare a tutti gli elementi del secondo insieme). Nel caso infinito bisogna definire che cosa si intende per "equinumeroso". Se, come usualmente si fa, riferiamo tale concetto alla possibilità di mettere in corrispondenza biunivoca gli elementi dell'uno con quella dell'altro, i nostri due insiemi sono equinumerosi, anche se uno è contenuto nell'altro.

Per approfondimenti definizioni e dimostrazioni neGli Oggetti Matematici.