Supponiamo, per assurdo, che i numeri reali tra 0 ed 1 siano in quantità numerabile, ossia che si possa associare a ciascun numero intero positivo n un numero reale in [0,1]  r in modo tale che l'insieme degli rn al variare di n tra gli interi positivi formi l'insieme [0,1]. Si provi a costruire un numero reale compreso tra 0 ed 1 che non stia in questo insieme, concludendo che l'ipotesi è, appunto, assurda, ossia che i numeri reali tra 0 ed 1 sono in quantità più che numerabile.

Supponiamo che r0, r1, r2, ... sia una loro enumerazione. Indichiamo con rm,n la cifra n-esima dopo il punto decimale di rm. Ad esempio se r6 fosse 0.752891… r6,3 sarebbe 2.
Allora indichiamo con r il numero  0.c1c2c3... così costruito:  c1 = S(r1,1), c2 = S(r2,2), c3 = S(r3,3), … dove con S(n) abbiamo indicato n+1 se n < 9  e  0 se n = 9.
r sarebbe un numero reale compreso tra 0 ed 1 che non starebbe nell'elenco r0, r1, r2, ...  Dunque è assurdo che questo elenco comprenda tutti i numeri reali tra 0 ed 1.

     

r1 =  0.r 1,1 r 1,2 r 1,3 r 1,4 ...
r2 =  0.r 2,1 r 2,2 r 2,3 r 2,4 ...
r3 =  0.r 3,1 r 3,2 r 3,3 r 3,4 ...
r4 =  0.r 4,1 r 4,2 r 4,3 r 4,4 ...

Per approfondimenti definizioni e dimostrazioni neGli Oggetti Matematici.