La sottrazione e l'elevamento a potenza godono delle proprietà associativa e commutativa? rispetto ad esse esistono elemento neutro ed elementi inversi?

•  Sottrazione ed elevamento a potenza evidentemente non sono commutative: 1–2 ≠ 2–1; 2^1 ≠ 1^2.
•  È vero che, comunque prenda x, y e z, x–(y–z) = (x–y)–z ?
No, basta prendere x=y=z=1 per ottenere un controesempio (1 ≠ –1).
[ricordiamo che x–y–z è una abbreviazione per (x–y)–z]
  È vero che, comunque prenda x, y e z, x^(y^z) = (x^y)^z ?
No, basta prendere x=y=z=10 per ottenere un controesempio (10^100 ≠ 100^10 = 10^20).
  Sottrazione ed elevamento a potenza non sono associative.
•  x–0 = x (e x–@ = x solo se @=0), ma non è vero che, per ogni x, 0–x = x (l'equazione è vera solo per x=0). Quindi "–" non ha elemento neutro. Possiamo tuttavia dire che ha 0 come "elemento neutro destro". Non essendoci elemento neutro non ha senso porsi il problema dell'esistenza di elementi inversi.
•  x^1 = x (e x^@ = x solo se @=1), ma non è vero che, per ogni x, 1^x = x (l'equazione è vera solo per x=1). Quindi "^" non ha elemento neutro. Possiamo tuttavia dire che ha 1 come "elemento neutro destro". Non essendoci elemento neutro non ha senso porsi il problema dell'esistenza di elementi inversi.

  Per altri commenti: Struttura dei termini e Strutture numeriche e non neGli Oggetti Matematici.