(1) Qualche prova per capire come funzionano le cose:
5(+)0=5, 1(+)8=9, 8(+)1=9, 1(+)9=0, 2(+)7=9, 2(+)8=0, 2(+)9=1, …
La somma (+) viene ottenuta prendendo la cifra delle unità del risultato della somma +; questa gode della proprietà commutativa, quindi essa vale anche per (+):
M(+)N = "cifra di posto 0 di M+N" = "cifra di posto 0 di N+M" = N(+)M.
Vale anche la proprietà associativa, in quanto nel fare un'addizione tra 2 o più numeri il valore della cifra di posto 0 del risultato dipende solo dal valore della cifra di posto 0 degli addendi:
(7 (+) 9) (+) 5 = "cifra di posto 0 di 7+9" (+) 5 = "cifra di posto 0 di (7+9-10)+5" = 1
7 (+) (9 (+) 5) = 7 (+) "cifra di posto 0 di 9+5" = "cifra di posto 0 di 7+(9+5-10)" = 1
Lo 0 è evidentemente l'elemento neutro rispetto a (+).
L'elemento inverso di M rispetto a (+) (l'opposto) è la cifra che sommata ad M da 0 o 10, quindi è 0 se M è 0, è 10-M altrimenti.
Qualche prova per il prodotto:
5(×)0=0, 5(×)1=5, 2(×)4=8, 2(×)5=0, 2(×)6=2, 9(×)9=1, …
Con considerazioni simili alle precedenti si ha che valgono le proprietà commutativa e associativa.
La cifra 1 è evidentemente l'elemento neutro rispetto a (×).
L'elemento inverso di M rispetto a (×) invece, oltre a non esistere per 0 (il prodotto di 0·N non può terminare per 1) non sempre esiste neanche negli altri casi. Ad esempio 5(×)N ha come valore la cifra di posto 0 di 5·N, che è sempre 0 o 5, non può essere 1.
Non vale neanche la legge dell'annullamento del prodotto: 5(×)N può essere 0 senza che N sia 0 (5(×)2, 5(×)4, … 5(×)8 fanno tutte 0).
(2) Come sopra, rispetto sia a (+) che a (×) valgono le proprietà commutativa e associativa, e 0 e 1 sono gli elementi neutri. In modo analogo esistono gli inversi rispetto a (+).
In questi casi esistono anche gli inversi rispetto a (×) per gli elementi diversi da 0:
nel caso delle cifre in base 2, il reciproco di 1 è 1;
nel caso delle cifra in base 5 abbiamo che il reciproco di 1 è 1, quello di 2 è 3 (2·3 = 6 = 5+1 =
Vale quindi anche la legge dell'annullamento del prodotto.
Infatti se M(×)N = 0 e N fosse diverso da 0 potrei moltiplicare entrambi i membri per il reciproco di N (cioè "dividere per N") ottenendo M(×)1 = 0, ossia M = 0. Analogamente se M fosse diverso da 0 otterrei che N deve essere 0.