Calcola usando R e/o WolframAlpha

# Con R (vedi qui):
F = function(x,y) ifelse(0<=y & y<=1 & 0<=x & x<=y^2, exp(x^3), 0)
# Il grafico
BF=3; HF=3
x1=-0.1; x2=1.1; y1=-0.1; y2=1.1; z1=0; z2=3
x = seq(x1,x2,len=33); y = seq(y1,y2,len=33); z = outer(x,y,F)
NW(); MARG(0.3); th=15; ph=30
persp(x,y,z,zlim=c(z1,z2), theta=th, phi=ph, col="cyan",
      ticktype="detailed",cex.axis=0.75,cex.lab=0.8,d=2)

# Capisco dal grafico che l'integrale deve essere inferiore a 1/2
#
u1 = INTEGRAL(F, 0,1, 0,1, 100); more(u1)
# 0.36742515974949
u2 = INTEGRAL(F, 0,1, 0,1, 200); more(u2); u1-u2
#  0.366955695143654   0.0004694646
u3 = INTEGRAL(F, 0,1, 0,1, 400); more(u3); u2-u3
#  0.366837328956973   0.0001183662
u4 = INTEGRAL(F, 0,1, 0,1, 800); more(u4); u3-u2
#  0.366809257495194   -0.0001183662
u5 = INTEGRAL(F, 0,1, 0,1, 1600); more(u5); u4-u3
#  0.366804014541995   -2.807146e-05
# posso prendere 0.36680  

Con WolframAlpha, introduco
integrate(integrate exp(x^3), x=0..y^2), y = 0..1
ottenendo   0.36680325403929866871…