Sia F(x,y) = (x−3)*(y−3)*(3−x−y). Sotto ne sono tracciate alcune curve di livello e il grafico da un particolare punto di vista (pensa a come proseguirebbero per x ed y maggiori). Individuane eventuali punti di massimo e minimo relativi e di sella.
Posso allargare la visione coi comandi:
x1 <- -1.2; x2 <- 4.5; y1 <- 1.2; y2 <- 4.5
x <- seq(x1,x2,len=25); y <- seq(y1,y2,len=25); z <- outer(x,y,F)
persp(x,y,z, theta=-25,phi=5, expand=1, col="yellow", shade=0.3,
ticktype="detailed")
dev.new()
contour(x,y,z)
e rendermi conto che per x=y F(x,y) → −∞ per x → ∞. Del resto dalla espressione posso capire che la funzione non è limitata né inferiormente né superiormente (per x=y F(x,y) = (x−3)²·(3−2x) che tende a −∞ per x → ∞, a ∞ per x → −∞). |
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Scambiando x con y F(x,y) resta invariato: il grafico è simmetrico rispetto al piano x=y.
Dalle curve di livello capisco che nel triangolo (0,3)-(3,0),(3,3), sul cui bordo F vale 0, c'è un punto di estremo relativo.
Dal grafico intuisco che ci sono dei punti di sella. Proviamo a determinarli.
d F(x,y) / dx = (3−y)(2x+y−6);
d F(x,y) / dy = (3−x)(2y+x−6)
Le soluzioni (x,y) sono (0,3), (2,2), (3,0), (3,3) (posso trovarle rapidamente con WolframAlpha introducendo
Le derivate seconde sono:
d/dx d/dx (x-3)*(y-3)*(3-x-y) = 6-2*y,
d/dy d/dy (x-3)*(y-3)*(3-x-y) = 6-2*x,
d/dx d/dy (x-3)*(y-3)*(3-x-y) = -2*x-2*y+9.
Posso calcolare l'Hessiano nei 4 punti. Facciamolo con R:
fxy <- expression( (x-3)*(y-3)*(3-x-y) )
Dxx <- D(D(fxy,"x"),"x"); Dxy <- D(D(fxy,"x"),"y")
Dyx <- D(D(fxy,"y"),"x"); Dyy <- D(D(fxy,"y"),"y")
H <- function(x,y) eval(Dxx)*eval(Dyy)-eval(Dxy)*eval(Dyx)
H(0,3); H(2,2); H(3,0); H(3,3)
# -9 3 -9 -9
Qundi (2,2) è un punto stazionario, gli altri sono punti di sella. A destra l'evidenziazione dei punti di minimo e di sella e di parte del grafico che evidenzia la zona del minimo relativo e due lati del triangolo nei quali F è costante. Per approfondimenti vedi qui. |  |