Per ottenere una scatola rettangolare (senza coperchio) di volume V come devo sceglierne le dimensioni in modo che la sua superficie abbia area minima?

Sia x, y e z le tre dimensioni della scatola. Noto V una delle tre dimensioni è funzione delle altre. Ad esempio z = V/(x·y).
L'area della superficie della scatola è  A = x·y+2·(y·z+x·z) = x·y+2·V·(1/x+1/y).
Ovviamente x > 0 e y > 0.
Come si può intuire, se x o y tendono a 0 o ∞ allora A → ∞. La cosa si può dedurla dalla espressione di A o dal grafico tracciato col computer (grafici tracciati assumendo V=1):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")   # vedi qui
F = function(x,y) x*y+2*(1/x+1/y)
x1 = 0.4; x2 = 3; y1 = 0.4; y2 = 3
x = seq(x1,x2,len=25); y = seq(y1,y2,len=25); z = outer(x,y,F)
MARG(0.2); BF=4; HF=4; NW()
ye="yellow"; de="detailed"
persp(x,y,z,phi=15,theta=-25,d=20,col=ye,ticktype=de,cex.axis=0.7,cex.lab=0.7,shade=0.2)
BF=3; HF=3
PLANE(0.4,3, 0.4,3); g = function(x,y) F(x,y)-k
k=5; c="black"; CUR(g, c); aboveXC(k,0.75,c)
k=6; c="brown"; CUR(g, c); aboveXC(k,1.25,c)
k=7; c="seagreen"; CUR(g, c); aboveXC(k,1.75,c)
k=8; c="blue"; CUR(g, c); aboveXC(k,2.25,c)
k=9; c="red"; CUR(g, c); aboveXC(k,2.75,c)

Per trovare i punti critici vedo dove si annullano le derivate parziali:
∂A/∂x = y−2V/x² = 0  se x²y = 2V
∂A/∂y = x−2V/y² = 0  se xy² = 2V
Da x²y = xy², essendo x ed y positive, ricavo x = y.
Da x³ = 2V ricavo x = y = (2V)^1/3 = 2^1/3·V^1/3, e z = V/(x·y) = V^1/3.
Nel caso di una scatola di volume 1 ho x = y = 1.25992…, e z = 1/(x*y).

Per approfondimenti vedi qui.

Con WolframAlfha  (vedi):
minimize x*y+2*(1/x+1/y)
      min ≈ 4.762203 at (x, y) ≈ (1.259921, 1.259921)
      z = 1/(x*y) ≈ 0.62996057
plot z = x*y+2*(1/x+1/y), x=0.5..3, y=0.5..3