A destra è tracciato parte del grafico di F: (x,y) → − (cos(x)²+cos(y)²)², precisamente per gli input in [−π/2, π/2]×[−π/2, π/2]. (1) Come si estende il suo grafico allargandone il dominio? (2) Traccia, con l'aiuto del computer, il grafico di un po' di curve di livello. (3) Dove è nullo il gradiente di F?

Ecco come, con R (ma poteva essere usato altro software), è stato ottenuto il grafico precedente e come potrebbero essere ottenute le corrispondenti curve di livello, riprodotte a sinistra.

F <- function(x,y) -(cos(x)^2+cos(y)^2)^2 x1 <- -pi/2; x2 <- pi/2; y1 <- -pi/2; y2 <- pi/2 x <- seq(x1,x2,len=41); y <- seq(y1,y2,len=41); z <- outer(x,y,F) persp(x,y,z, theta=30,phi=20, col="yellow",ticktype="detailed", shade=0.3, cex.axis=0.75, cex.lab=0.8, expand=0.5) dev.new() contour(x,y,z); abline(v=axTicks(1),h=axTicks(2),lty=3,col="grey70")

(1), (2). Sotto i grafici in [−π, π]×[−π, π], visti da due diverse altezze, e, a destra, le corrispondenti curve di livello.

... x1 <- -pi; x2 <- pi; y1 <- -pi; y2 <- pi ... persp(x,y,z, theta=25, phi=20, ..., expand=0.3) ... persp(x,y,z, theta=25, phi=0, ..., expand=0.3) dev.new() contour(x,y,z); abline(v=axTicks(1),h=axTicks(2),lty=3,col="grey70")

Come si vede, alla quota −1 le curve di livello sono dei quadrati, come è facilmente controllabile: −(cos(x)²+cos(y)²)² = −1 sse cos(x)²+cos(y)² = 1, di cui posso fare il grafico ad esempio con WolframAlpha o con R.

I grafici e le curve di livello suggeriscono che la funzione sia periodica rispetto sia ad x che ad y, con entrambi i periodi pari a π. La cosa è facilmente verificabile, essendo cos(t)² periodica rispetto a t con periodo π.
Potrei verificare la cosa anche con WolframAlpha:
se batto period of -(cos(x)^2+cos(y)^2)^2 ottengo
period with respect to x: π
period with respect to y: π
e la rappresentazione delle curve di livello qui a destra.

(3). Dal grafico iniziale si capisce subito che il gradiente è nullo in (0, 0) e in (±π/2, ±π/2). Estendendosi al piano, è nullo per x = π·m/2, y = π·n/2, m,n ∈ Z, che non sono altro che i punti di massimo e di minimo di F.
La cosa, volendo, è verificabile con i calcoli, fatti a mano o con WolframAlpha:
gradient of -(cos(x)^2+cos(y)^2)^2
sin(2*x)*(cos(2*x)+cos(2*y)+2) = 0 AND sin(2*y)*(cos(2*x)+cos(2*y)+2) = 0
x = π·m/2, y = π·n/2, m,n ∈ Z

Per approfondimenti vedi qui.

(1), (2). Sotto i grafici in [−π, π]×[−π, π], visti da due diverse altezze, e, a destra, le corrispondenti curve di livello.
... x1 <- -pi; x2 <- pi; y1 <- -pi; y2 <- pi ... persp(x,y,z, theta=25, phi=20, ..., expand=0.3) ... persp(x,y,z, theta=25, phi=0, ..., expand=0.3) dev.new() contour(x,y,z); abline(v=axTicks(1),h=axTicks(2),lty=3,col="grey70")
Come si vede, alla quota −1 le curve di livello sono dei quadrati, come è facilmente controllabile: −(cos(x)²+cos(y)²)² = −1 sse cos(x)²+cos(y)² = 1, di cui posso fare il grafico ad esempio con WolframAlpha o con R.