Sia F: (x,y) → −x³. Rappresentane il grafico e le curve di livello con del software.  Individuane da queste rappresentazioni le caratteristiche (esitono punti di minimo o di massimo relativi, ...).  Poi studiane le caratteristiche senza ricorrere ai grafici, con tecniche di analisi matematica.

Vedi sotto come tracciarne grafico e curve di livello col software online WolframAlpha. È una superficie generata da rette parallele all'asse y. Il suo grafico è ottenibile da quello della curva z = x³ del piano y=0 mediante traslazioni. Quindi le sue derivate parziali si annullanno lungo l'asse y. Possiamo verificare la cosa: la derivata parziale rispetto ad x è 3x², che si annulla per x=0, la derivata parziale rispetto ad y è, ovunque, 0. In tutti questi punti si ha un flesso in quanto non sono punti né di massimo né di minimo.  Vedi qui.

plot -x^3+sgn(y+1e5)-1, x=-2..2, y=-2..2
plot -x^3+sgn(y+1e5)-1, x=-2..2, y=-2..2, view from (0,3,0)

("+sgn(y+1e5)-1" equivale ad aggiungere 0; questa scritta, o altre analoghe, serve solo a far capire che è una funzione di due variabili)

 

# Con R potrei fare il grafico semplicemente con:
F <- function(x,y) -x^3
x1 <- -1; x2 <- 1; y1 <- -1; y2 <- 1
x <- seq(x1,x2,len=60); y <- seq(y1,y2,len=60); z <- outer(x,y,F)
persp(x,y,z, theta=25,phi=10, col="yellow",ticktype="detailed")
#
# Ma per modificare il punto di vista e tracciare gli assi conviene:
#
F <- function(x,y) -x^3
x1 <- -1; x2 <- 1; y1 <- -1; y2 <- 1; z1 <- -1; z2 <- 1
x <- seq(x1,x2,len=60); y <- seq(y1,y2,len=60); z <- outer(x,y,F)
graf <- function(th,ph) {
 fig <- persp(x,y,z,zlim=c(z1,z2), theta=th, phi=ph, col="yellow",
        ticktype="detailed",border="black",shade=0.3,cex.axis=0.75,cex.lab=0.8,d=2)
 lines(trans3d(c(x1,0),c(0,0),c(0,0), pmat=fig),col="blue",lwd=1,lty=3)
 lines(trans3d(c(0,0),c(0,y1),c(0,0), pmat=fig),col="blue",lwd=1,lty=3)
 lines(trans3d(c(0,0),c(0,0),c(z1,0), pmat=fig),col="blue",lwd=1,lty=3)
 lines(trans3d(c(0,x2),c(0,0),c(0,0), pmat=fig),col="blue",lwd=3,lty=3)
 lines(trans3d(c(0,0),c(0,y2),c(0,0), pmat=fig),col="blue",lwd=3,lty=3)
 lines(trans3d(c(0,0),c(0,0),c(0,z2), pmat=fig),col="blue",lwd=3,lty=3) }
graf(25,10)
dev.new()
graf(0,0)
dev.new()
contour(x,y,z,nlevels=8)