Sia G la funzione  (x,y) → √(x² + y²)  ristretta al dominio costituito dal cerchio del piano x,y centrato in (0,0) e di raggio 4.  Il suo grafico è il cono che va dal vertice (0,0,0) al cerchio di raggio 4 alla quota 4 con centro in (0,0,4).  A destra la figura tracciata col software online WolframAlpha coi comandi: plot sqrt(x^2+y^2), x=-4..4,y=-4..4,z=0..4 view from (3,9,5) Quali sono i punti di minimo e quelli di massimo di G?  Si posso calcolare in essi le derivate?  Valgono zero?

A sinistra il grafico ottenuto con: plot sqrt(x^2+y^2), x=-4..4,y=-4..4,z=0..4 view from (3,9,1) Il punto di minimo è il vertice, (0,0,0), del cono. I punti del cerchio di raggio 4 alla quota 4 con centro sull'asse z sono tutti punti di massimo. Le derivate in (0,0,0) non si possono determinare (è un punto angoloso). Lungo il bordo superiore le derivate non si annullano (il piano tangente è inclinato come la direttrice del cono), si hanno comunque dei punti di massimo in quanto sul contorno del dominio un punto può essere di estremo senza che le derivate parziali in esso si annullino. Vedi il §4 qui.