dipendenza e indipendenza
(e calcolo delle probabilità)
neGli Oggetti Matematici.In una fabbrica una particolare lavorazione viene eseguita utilizzando due macchine uguali, che vengono azionate alternatamente. Dopo il primo turno (prime 4 ore) vengono controllate le macchine. Se una macchina ha dei difetti di funzionamento viene fermata per essere sottoposta a interventi di riparazione alla fine della giornata e essere rimessa in funzione il giorno seguente. Utilizzando le seguenti informazioni:
– quando la lavorazione viene eseguita su entrambe le macchine, ciascuna ha probabilità di presentare alla fine del turno difetti di funzionamento del 7%,
– quando la lavorazione viene eseguita su una sola macchina, la probabilità che alla fine del turno essa presenti difetti di funzionamento è del 10%,
calcola:
– la probabilità che alla fine della giornata (cioè dopo 2 turni) entrambe le macchine debbano essere riparate,
– la probabilità che una delle macchine debba essere riparata,
– la probabilità che non ci sia bisogno di riparazioni.
Dopo il primo turno con probabilità 0.93·0.93 le due macchine funzionano;
con probabilità 0.07·0.07 le due macchine non funzionano;
con probabilità 2·0.07·0.97 una sola funziona. Con un grafo si può
illustrare facilmente la situazione. Verifichiamo
se i conti sono giusti: 0.93·0.93+0.07·0.93·2+0.07·0.07 = 1.
OK.
La probabilità che entrambe le macchine si guastino al 1° turno è 0.07·0.07.
Quella che entrambe siano guaste alla fine del 2° turno è:
0.93·0.93·0.07·0.07 (entrambe intere al 1°, entrambe guaste al 2°)
più 0.07·0.93·2·0.1 (una guasta al 1°, un'altra al 2°).
In tutto la probabilità che siano entrambe guaste è:
0.07·0.07+0.93·0.93·0.07·0.07+0.07·0.93·2·0.1 = 0.02215801 =
2.215801%.
La probabilità che una sola si guasti è:
0.93·0.93·0.07·0.93·2 + 0.07·0.93·2·0.9 =
0.22978998 = 22.978998%.
La probabilità che rimangano funzionanti entrambe è:
0.93·0.93·0.93·0.93 = 0.74805201 = 74.805201%.
Verifica: 2.215801 + 22.978998 + 74.805201 = 100. OK.
Per altri commenti:
dipendenza e indipendenza
(e calcolo delle probabilità)
neGli Oggetti Matematici.
Posso calcolare
o con questa, più sofisticata:
# Verifica con R: # d2 prob. 1 rotta dopo un turno quando lavorano 2, d1 … quando lavora 1 d2 <- 7/100; d1 <- 10/100 R1 <- d2*d2 # entrambe rotte dopo 1^ F1 <- (1-d2)^2 # entrambe funz. dopo 1^ U1 <- d2*(1-d2)*2 # 1 sola funz. dopo 1^ (o l'una o l'altra -> *2) R1; F1; U1; R1+F1+U1 # tot dopo 1^ # 0.0049 0.8649 0.1302 1 OK # Non ce ne sono altre che iniziano con R1 F1F2 <- F1*F1 # entrambe funz. dopo 1^ e 2^ F1U2 <- F1*d2*(1-d2)*2 # entr. funz. dopo 1^, solo 1 dopo 2^ (l'una o l'altra) F1R2 <- (1-d2)^2*d2*d2 # entrambe funz. dopo 1^, rotte dopo 2^ # Non ce ne sono altre che iniziano con F1 U1U2 <- 2*d2*(1-d2)*(1-d1) # 1 funz. dopo 1^, 1 dopo 2^ U1R2 <- 2*d2*(1-d2)*d1 # 1 funz. dopo 1^, tutte rotte dopo 2^ # Non ce ne sono altre che iniziano con U1 F1F2 # tutte OK # 0.748052 R1 + F1R2 + U1R2 # tutte KO # 0.02215801 F1U2+U1U2 # 1 sola OK # 0.22979 F1F2 + R1+F1R2+U1R2 + F1U2+U1U2 # tot dopo 2^ # 1 # OK!