Qual è la probabilità che una famiglia con 5 figli abbia 3 figli maschi e 2 femmine?

Possiamo considerare equiprobabili i sessi e ritenere, in prima approssimazione, il sesso di un nuovo figlio indipendente da quello del precedente. In questo caso, con numeri piccoli, posso procedere per elencazione. I casi in tutto sono 2^5, cioè 32. Ecco, chiamati 1, 2, 3, 4 e 5 i figli, come possono essere collocate le femmine: 12 (1º e 2º figlio), 13 (1º e 3º figlio), 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45. In tutto 10 casi. Quindi la probabilità è 10/32, ovvero 5/16 = 31.25%.
    Senza procedere per elencazione, ecco come posso fare.
Siano M ed F la probabilità che nasca un maschio e quella che nasca una femmina. M+F = 1.
Il risultato di (M+F)^5, M^5 + 5M^4F + 10M^3F^2 + 10M^2F^3 + 5MF^4 + F^5, ci dice che la probabilità che vi siano 3 figli maschi e 2 femmine è 10·M^3·F^2, ossia 10·1/2^3·1/2^2 = 10/2^5 = 10/32 = 31.25%.
    Il calcolo con R:  choose(5,3)*1/2^5; ottengo 0.3125. Quello con questa "calcolatrice":

Per altri commenti: dipendenza e indipendenza e calcolo combinatorio neGli Oggetti Matematici.

Volendo l'insegnante può controllare facilmente la risposta sperimentalmente con JavaScript, che è incorporato in tutti i browser. Basta andare qui: http://macosa.dima.unige.it/js/js.htm (puoi vedere anche qui), cliccare "macosa.dima.unige.it/js.com" e mettere nella finestra in alto

<pre><script> with(Math) {
n=1e3; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
   { U1=floor(random()*2); U2=floor(random()*2); U3=floor(random()*2); U4=floor(random()*2); U5=floor(random()*2)
      s=0; if(U1+U2+U3+U4+U5==3) s=1;  x=x+s }
document.writeln ("n=",n,"  fr = ", x/n*100,"%")
n=1e4; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
   { U1=floor(random()*2); U2=floor(random()*2); U3=floor(random()*2); U4=floor(random()*2); U5=floor(random()*2)
      s=0; if(U1+U2+U3+U4+U5==3) s=1;  x=x+s }
document.writeln ("n=",n,"  fr = ", x/n*100,"%")
} </script></pre>

n=1000  fr = 33.7%
n=10000  fr = 30.34%

<pre><script> with(Math) {
n=1e5; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
   { U1=floor(random()*2); U2=floor(random()*2); U3=floor(random()*2); U4=floor(random()*2); U5=floor(random()*2)
      s=0; if(U1+U2+U3+U4+U5==3) s=1;  x=x+s }
document.writeln ("n=",n,"  fr = ", x/n*100,"%")
n=1e6; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
   { U1=floor(random()*2); U2=floor(random()*2); U3=floor(random()*2); U4=floor(random()*2); U5=floor(random()*2)
      s=0; if(U1+U2+U3+U4+U5==3) s=1;  x=x+s }
document.writeln ("n=",n,"  fr = ", x/n*100,"%")
} </script></pre>

n=100000  fr = 30.924%
n=1000000  fr = 31.3023%

<pre><script> with(Math) {
n=1e7; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
   { U1=floor(random()*2); U2=floor(random()*2); U3=floor(random()*2); U4=floor(random()*2); U5=floor(random()*2)
      s=0; if(U1+U2+U3+U4+U5==3) s=1;  x=x+s }
document.writeln ("n=",n,"  fr = ", x/n*100,"%")
} </script></pre>

  Dopo qualche secondo;
n=10000000  fr = 31.28317%