Sappiamo che in una partita di 50 articoli ve ne sono 3 difettosi. Da questa partita si scelgono a caso 10 pezzi. Qual è la probabilità che tra questi ve ne sia esattamente uno difettoso? E quella che ve ne siano due? E quella che ve ne siano 3? E quella che non vi siano pezzi difettosi?

Il numero totale dei casi è C(50,10): i modi in cui posso formare un insieme di 10 elementi tratti da un insieme di 50.  Il numero dei casi OK nella prima situazione è pari ai modi in cui posso prendere 1 elemento difettoso (ossia 3, il valore di C(3,1)) moltiplicato per i modi in cui posso prenderne 9 tra i 47 non difettosi (ossia C(47,9)). Quindi la probabilità cercata è:
C(3,1) · C(47,9) / C(50,10) = 39/98
Nella seconda situazione i casi OK sono i modi in cui posso prendere 2 elementi difettosi (ossia C(3,2)) moltiplicato per i modi in cui posso prenderne 8 tra i 47 non difettosi (ossia C(47,8)). Quindi la probabilità cercata è:
C(3,2) · C(47,8) / C(50,10) = 9/98
Analogamente abbiamo:
C(3,3) · C(47,7) / C(50,10) = 3/490   e
C(3,0) · C(47,10) / C(50,10) = 247/490
Verifica: 39/98+9/98+3/490+247/490 = 48/98+250/490 = 24/49+25/49 = 49/49 = 1. OK.

Posso fare tutti i calcoli facilmente con WolframAlpha; se metto in input:
C(3,1)·C(47,9)/C(50,10), C(3,2)·C(47,8)/C(50,10), C(3,3)·C(47,7)/C(50,10), C(3,0)·C(47,10)/C(50,10)
ottengo:

 

# calcoli con R, cosė:
library(MASS)
a <- choose(3,1)*choose(47,9)/choose(50,10)
b <- choose(3,2)*choose(47,8)/choose(50,10)
c <- choose(3,3)*choose(47,7)/choose(50,10) 
d <- choose(3,0)*choose(47,10)/choose(50,10)
c(a,b,c,d)
#  0.397959184  0.091836735  0.006122449  0.504081633
fractions(c(a,b,c,d))
#  39/98  9/98  3/490  247/490
a+b+c+d
# 1
#
# o senza  library(MASS)  e con al suo posto:
source("C:\\Users\\dapue\\Documents\\via.R")
# e al posto di  fractions( c(a,b,c,d) )
frazio( c(a,b,c,d) )

Per altri commenti: calcolo combinatorio e calcolo delle probabilità neGli Oggetti Matematici.