Cinque ragazzi devono sorteggiare tra di loro un pallone. Decidono di estrarre ciascuno uno stecco da un mazzetto composto da 5 stecchi di legno tra i quali uno è più corto degli altri. Vince il premio chi estrae lo stecco più corto. Ma Giorgio e Gabriella non sono d'accordo. Ritengono che il primo a estrarre sia avvantaggiato. Hanno ragione o torto? Come convincere Giorgio e Gabriella o gli altri tre ragazzi che hanno torto?

Qualche possibile risposta:
(A)  Hanno ragione. Il primo a estrarre ha più possiblità di scelta. L'ultimo, se lo stecco corto è già stato estratto, non ha alcuna possibilità di vincere.
(B)  Hanno torto. L'ultimo a estarre è avvantaggiato: il primo ha 1/5 di probabilità di pescare lo stecco vincente; il secondo, che deve scegliere tra i 4 stecchi rimasti, ha 1/4 di probabilità di vincere; il terzo, che sceglie tra 3 stecchi, ha 1/3 di probabilità di estarre lo stecco corto; ...; per l'ultimo la probabilità è 1/1 = 100%.
(C)  Hanno ragione. Il sorteggio sarebbe equo solo se ad ogni estrazione seguisse la reintroduzione dello stecco estratto.
(D)  Hanno torto. Si pensi al fatto che se io non so, fino all'ultimo, che cosa hanno estratto prima gli altri, non c'è motivo per cui debba avere aspettative migliori o peggiori degli altri in relazione all'ordine con cui estraggo. Se ciascuno estrasse il suo stecco senza far vedere che cosa ha pescato, una persona esterna non avrebbe motivi per pensare che uno dei 5 abbia maggiori probabilità degli altri di aver preso lo stecco corto.
    Qual è la risposta giusta?
    Questo metodo di sorteggio è in uso da millenni (e non solo usando stecchini: possono essere biglietti in un cappello, palline di uguale forma di cui una di colore diverso in un sacchetto, …). Gli esperimenti accumulatisi non lo hanno messo in crisi, ossia non hanno contraddetto l'ipotesi che la distribuzione sia uniforme:
Pr(U=corto) = 1/N se U, a valori in {corto, lungo}, è il tipo di stecco estratto e N è il numero degli stecchi.
    Questo, e un po' di fiducia nell'umanità, dovrebbero suggerire che il metodo è equo.
    Chi sostiene (A) pensa che la probabilità di vincere passando dal primo all'ultimo cali. Ma se il primo ha 1 probabilità su 5 di vincere, la somma delle probabilità di vincita dei 5 ragazzi sarebbe minore di 1/5*5 = 1. Ma qualcuno lo stecco corto lo pesca di sicuro, per cui la somma delle probablità deve essere 100% = 1.
    Analogamente, chi sostiene (B) pensa che la probabilità di vincere aumenti man mano che si passa dalla prima estrazione all'ultima, senza rendersi conto che la somma delle probabilità di vincita dei 5 ragazzi sarebbe maggiore di 1/5*5 = 100%.
    Coloro che rispondono (C) se, nel proporre la reintroduzione, pensano di limitarsi a questa variazione, non si rendono conto che in questo modo potrebbe accadere che nessuno estragga lo stecco corto o che più di uno lo estragga. Con la reintroduzione occorerrebbe far continuare le estrazioni fino a che uno dei ragazzi estrae lo stecco corto.
    La risposta (D) è corretta. Naturalmente stiamo supponendo che non vi siano scorrettezze da parte di chi tiene gli stecchi in mano, ma in genere questo è l'ultimo a estrarre: si becca lo stecco che rimane.
    Le altre risposte sono frutto (oltre che di una discreta perdita di buon senso, che spesso si sviluppa quando si cerca di affrontare un problema in modo "scolastico", cercando di appigliarsi a brandelli di conoscenze, nozioni, procedimenti, … perdendo il controllo del contesto) di una confusione in cui è facile cadere nel fare valutazioni probabilistiche: le diverse alternative vengono valutate a partire da istanti diversi, ossia riferendosi a stati di conoscenza (ovvero di incertezza) diversi. Prima della prima estrazione tutti i ragazzi sono nelle stesse condizioni; a questo punto per tutti la probabilità di vincere è 1/5. La valutazione in 1/4 della probabilità di vincita del secondo che fa chi risponde (B) è effettuata dopo che si sa che il primo non ha estratto lo stecco corto!
    Per convincere le persone che vogliono (o sono state abituate a) ragionare in modo scolastico, si può ragionare in termini di probabilità condizionata, per convicerle con dei "conti" dell'indipendenza dell'ordine di estrazione:
il primo ha 1/5 di probabilità di successo; il secondo, se il primo non ha lo stecco corto (4/5 di prob.) ha da scegliere tra quattro stecchi: prob. = 4/5*1/4 = 1/5; il terzo, se neanche il secondo ha pescato lo stecco corto (4/5*3/4 di prob.), ha 3 scelte possibili: prob. = 4/5*3/4*1/3 = 1/5; e così via.
La situazione è facilmente rappresentabile con un grafo.

         4/5 /\ 1/5
            /  \
           /    lo estrae il 1^:   1/5
      3/4 /\ 1/4
         /  \
        /    lo estrae il 2^:   4/5 * 1/4
   2/3 /\ 1/3
      /  \
     /    lo estrae il 3^:   4/5 * 3/4 * 1/3
1/2 /\ 1/2
   /  \
  |    lo estrae il 4^:   4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2
  |
  lo estrae il 5^:   come sopra

  Per altri commenti: dipendenza e indipendenza neGli Oggetti Matematici.