In un antico regno vige la pena di morte. Tra tre prigionieri condannati a morte, X, Y e Z, il re ne seleziona uno per essere perdonato. Il carceriere sa chi è ma non può dirlo. Il prigioniero X chiede al carceriere di sapere almeno il nome di uno degli altri due prigionieri che dovrà morire. Il carceriere gli dice che Y sarà giustiziato. X è "contento": è convinto di avere il 50% di probabilità di salvarsi.  X passa poi l'informazione a Z. Anche Z è "contento" ritenendo di avere il 50% di probabilità di salvarsi.  Sono corretti i ragionamenti di X e Z?

L'informazione ricevuta non cambia le attese di X: il guardiano gli ha detto il nome uno dei altri due (eventualmente l'unico di essi) che verrà giustiziato. In ogni caso gli avrebbe detto un nome. Non muta per nulla la valutazione di X della probabilità di essere graziato, che rimane 1/3 (< 50%).
Z, invece, ora sa il nome a caso (Y) di uno dei tre che verrà giustiziato, e che non è il suo (nel caso precedente Y era stato fornito solo come diverso dal nome X, non come nome a caso di uno dei giustiziati).  Quindi sa che uno solo tra X e Z morirà, per cui la probabilità che X sia graziato e quella che sia graziato Z in tutto valgono 1. La probabilità di sopravvivenza di X abbiamo visto che è 1/3, quindi quella di Z è 2/3 (> 50%).
Della prima risposta è facile convincersi (anche se non è banale arrivare spontaneamente ad essa).  Alla seconda domanda uno potrebbe pensare che la risposta sia 50%: Z ha una possibilità su due di essere graziato; occorre qualche ragionamento matematico non del tutto intuitivo per convincersene:  Pr(Z vive) = 1 − Pr(Z muore) = 1 − Pr(X vive) = 1−1/3 = 2/3.  A questo punto, ripensando al problema, ci si può convincere che effettivamente la risposta è questa.

Per altri commenti: calcolo delle probabilità e dipendenza e indipendenza neGli Oggetti Matematici.

Questo problema è stato presentato nel 1959 in uno dei libri di giochi matematici di Martin Gardner (in cui raccoglieva i contenuti di una rubrica che curava su Scientific American), riproponendo in modo diverso un problema formula da J. Bertrand 70 anni prima (nel problema originale c'erano tre scatole una contenente due monete d'oro, una due d'argento, l'altra una d'oro e una d'argento; la struttura del quesito era del tutto simile). Il problema, formulato diversamente, è noto anche come "Monty Hall problem" in quanto comparve (in forma diversa e, in vero, non problematica) in un gioco a premi televisivo presentato da un certo Monty Hall. Il potere della televisione! Sono presenti in rete (etichettate in questo modo) soluzioni molto complicate e cervellotiche.