calcolo combinatorio neGli Oggetti Matematici.Stima la probabilità che in una classe di 25 alunni almeno due di loro siano nati nello stesso giorno dell'anno.
Facciamo l'ipotesi che le date di nascita si
distribuiscano uniformemente nel corso dell'anno,
cioè che non vi siano periodi dell'anno con più nascite
che in altri (se si esaminano i dati delle
nascite in Italia o in qualche comune sufficientemente popolato si può verificare che questa assunzione
è accettabile).
Per fare la nostra stima consideriamo un anno di 365 giorni; ad essere rigorosi
dovremmo tener conto che ogni 4 anni ve ne è uno di 366 giorni, e che il 29 febbraio ha probabilità
pari a 1/4 di quella degli altri giorni, almeno se non sappiano qual è l'età degli alunni. In altre parole,
supponiamo che gli alunni della nostra classe non siano nati in un anno bisestile.
L'evento E che almeno due alunni siano nati nello
stesso giorno conviene pensarlo come la negazione dell'evento E' che tutti gli alunni siano nati
in giorni diversi.
Pr(E') = 364/365·363/365·…·341/365=43%, infatti:
|
Sia Gn il giorno di nascita dell'alunno n-esimo nel registro di classe. - La probabilità che G2 sia diverso da G1 è 364/365 (364 possibilità su 365). - La probabilità che G3 sia diverso da G1 e da G2 è 363/365 e quella che, inoltre, G2 sia diverso da G1 è (364/365) (363/365)=364/365 363/365 - - La probabilità che G25 sia diverso da G1, G2, e G24 è 341/365 e quella che tutti i Gn (n=1, ,25) siano diversi tra loro è 364/365 341/365 |
Volendo potevo trovare Pr(E') anche così:
- le possibili sequenze di 25 giorni diversi sono 365·364·…·341
- le possibili sequenze di 25 giorni sono 365·365·…·365 = 36525
- il rapporto tra questi numeri è 364/365·363/365·…·341/365
Quindi Pr(E) = Pr(NOT E') = 1 - 43% = 57%.
Può sembrare un valore sorprendentemente grande. La nostra "intuizione", se non "allenata" al ragionamento probabilistico, tenderebbe a considerare improbabile la presenza di due alunni nati nello stesso giorno. Più in generale, il valutare qualcosa come "magico" o "strano" spesso è solo il frutto di una nostra valutazione probabilistica errata (o assente).
Per commenti: calcolo combinatorio neGli Oggetti Matematici.
Posso fare il calcolo anche con un semplice programmino in JavaScript, software incorporato in tutti i browser. Vai qui: http://macosa.dima.unige.it/js/js.htm, clicca "macosa.dima.unige.it/js.com" e metti nella finestra in alto:
<pre><script> with(Math) {
p=1; for(i=1; i<25; i=i+1) p=p*(365-i)/365; document.writeln ( (1-p)*100," %" )
} </script></pre>
Ottieni:
56.8699703969464 % arrotondabile a 56.87%.
Vediamo anche come usare altri script. Con integers* calcolo 341*...*364:
Poi con la calcolatrice
calcolo:
che posso arrotondare a 56.87.