In una fabbrica che produce un particolare componente per computer alla fine del ciclo produttivo viene effettuato un controllo "a vista" che mediamente indivua ed elimina l'80% dei pezzi difettosi ma, erroneamente, elimina anche il 7% dei pezzi non difettosi. Supponiamo che si sappia che, in media, i pezzi difettosi prodotti sono il 10%.  Qual è la probabilità che un pezzo che supera l'esame sia difettoso?

presiscartatitotale
buoni  90
difettosi? 10
totale? 100
presiscartatitotale
buoni 7%·9090
difettosi?80%·1010
totale? 100
presiscartatitotale
buoni 6.390
difettosi2810
totale?14.3100
presiscartatitotale
buoni 6.390
difettosi2810
totale85.714.3100

Ogni 100 pezzi, quelli che superano l'esame mediamente sono 85.7, quelli tra questi difettosi sono 2; la frequenza con cui tra i pezzi che superano ve n'è uno difettoso è 2/85.7 = 2.3%. Questa è la probabilità cercata.   In altri termini:

Pr(EssereDifettoso | EsserePreso) = Pr(EssereDifettoso & EsserePreso) / Pr(EsserePreso) = 2/85.7 = 2.3%

Usando un grafo invece che una tabella:

                      -------- ?
               preso /
difett. 10% --------
       /    scartato \
      /               80% ----
------
      \               -------- ?
       \       preso /
 buono   -----------
            scartato \
                      7% -----

                      20%----- 10%·20%
               preso /
difett. 10% --------
       /    scartato \
      /               80% ----
------
      \               93% ---- 90%·93%
       \       preso /
 buono  90% --------
            scartato \
                      7% -----

Pr(EssereDifettoso & EsserePreso) / Pr(EsserePreso) = (10%·20%)/(10%·20%+90%·93%) = 20/(20+9·93) = 20/857 = 2.3%

  Per altri commenti: dipendenza e indipendenza neGli Oggetti Matematici.