La legge di distribuzione binomiale è riferita alle situazioni in cui si ripete n volte un evento casuale A con probabilità p. La probabilità che il numero delle volte N che A si verifica sia k è  Pr(N=k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^n−k.  Se indico con B l'evento contrario di A, con p_A e con p_B le probabilità di A e B, con N_A e con N_B i numeri delle volte che si verificano A e B, posso scrivere  Pr(N_A=k) = C(n,k) · p_A^k · p_B^n−k.  Il coefficente binomiale C(n,k)  posso esprimerlo oltre che come  n/k·(n−1)/(k−1)·…·(n−k+1)/1  anche come  n·(n−1)·…·(n−k+1)/(k·(k−1)·…·1)  ossia come  n·(n−1)·…·1/((n−k)…·1)/(k·(k−1)·…·1)  ovvero  n!/(k!·(n−k)!).  Osserviamo che ovviamente, nel caso di due soli eventi mutuamente esclusivi,  Pr(N_A=k) = Pr(N_A=k & N_B=n−k)  in quanto N_A=k e N_B=n−k sono equivalenti.  Si può dimostrare che per la legge di distribuzione trinomiale, in cui si possono verificare tre eventi A, B e C, si ha:  Pr(N_A=x & N_B=y & N_C=z)  =  n!/(x!·y!·z!) · p_A^x · p_B^y · p_C^z, dove n = x+y+z.  Una espressione analoga la si ha, in generale, per la legge di distribuzione multinomiale.
Calcola la probabilità che da una scatola in cui siano collocati 2 bastoncini rossi, 5 bastoncini blu e 3 bastoncini gialli (tutti di eguali dimensioni e peso) si estraggano 3 bastoncini blu, ovvero un bastoncino per colore, ovvero 2 bastoncini rossi ed 1 giallo, sia nel caso in cui ogni bastoncino estratto venga ogni volta subito reinserito, sia nel caso in cui non vi sia reinserimento.