C(10,5) = 252
(1-252*pow(2,-10))*100/2 = 37.6953125
Lanciamo una moneta equa 10 volte. Qual è la probabilità che testa venga più frequentemente di croce?
Uso la variabile casuale N a valori in {0,1,2,…,10} per rappresentare il numero di teste uscite in 10 lanci.
Devo calcolare
Poiché la moneta è equa, Pr(N<5) = Pr(N>5).
Quindi Pr(N>5) =
[ infatti Pr(N>5)+Pr(N<5)+Pr(N=5) = 1 ]
Dobbiamo, dunque, calcolare Pr(N=5).
Pr(N=5) = C(10,5)·2-10 = 10/5·9/4·8/3·7/2·6/1·2-10 = 9·4·7·2-10 =
63/2^8 = 24.6%,
quindi:
Pr(N>5) = (1– 63/2^8)/2 = 37.7%.
Per i calcoli potevo usare questa calcolatrice:
Se voglio esprimere il valore sotto forma di frazione posso ricorrere a
WolframAlpha. Se introduco:
(1-252*pow(2,-10))*100/2 ottengo
4825/128 = 37 + 89/128
Per altri commenti: 
Leggi di distribuzione (discrete) neGli Oggetti Matematici.
Puoi controllare i calcoli sperimentalmente. Puoi andare qui: http://macosa.dima.unige.it/js/js.htm (puoi vedere anche qui), cliccare "macosa.dima.unige.it/js.com" e mettere nella finestra in alto quanto segue (per 10 volte in M metto a caso 0 o 1, sommo i valori M e controllo se il risultato è maggiore di 5):
<pre><script> with(Math) {
n=1e4; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
{t=0; for(j=1;j<=10;j=j+1) {M=floor(random()*2);t=t+M}; s=0; if(t>5) s=1; x=x+s}
document.writeln ("n=",n," fr = ", x/n*100,"%")
n=n*10; x=0; for(i=0; i<n; i=i+1)
{t=0; for(j=1;j<=10;j=j+1) {M=floor(random()*2);t=t+M}; s=0; if(t>5) s=1; x=x+s}
document.writeln ("n=",n," fr = ", x/n*100,"%")
} </script></pre>
Ottengo:
n=10000 fr = 37.67% n=100000 fr = 37.714%
Proseguendo con valori maggiori di "n" posso ottenere:
n=1000000 fr = 37.6946% n=10000000 fr = 37.69125%
Il valore trovato (arrotondando, 37.7%) conferma il ragionamento teorico.
Posso controllare i calcoli sperimentalmente anche impiegando questo script in cui modifico TruthValue nel modo seguente.
function TruthValue()
{ with(Math) {
var C = new Array(10); S = 0
for(i=1; i <= 10; i++) { C[i]=floor(random()*2); S = S+C[i] }
V=0; if(S>5) {V=1}
}}
n=6400000 37.7053125% +/- 0.057472234106666936%
n=3200000 37.7169375% +/- 0.08128296252042505%
n=1600000 37.7216875% +/- 0.11495434037551461%
n=800000 37.764625% +/- 0.16260645293292836%
n=400000 37.696% +/- 0.22987799535782427%
n=200000 37.7225% +/- 0.32514206634264736%
n=100000 37.789% +/- 0.4599808136580148%
Ho ottenuto (37.7±0.1)% a conferma del ragionamento teorico.
# Conferma sperimentale (con R):
# Genero 10 cifre scelte tra 1 e 2 e conteggio se i 2 sono più di 5
n <- 0; tot <- 1e5
for(i in 1:tot) { lanci <- sample(1:2,10,replace=TRUE);
if ( length( subset(lanci,lanci>1)) > 5) n <- n+1}
n/tot
# 0.37699
#
# Alternativa (vedi qui)
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
Pr = function(n) {f = 0; for (i in 1:n) f = f + ifelse(Event(),1,0);
fr = f/n; S = sqrt(fr*(1-fr)/(n-1)); cat(fr, "+/-", 3*S,'\n') }
Event = function() {lanci = RUNIF(10, 0,1); ifelse(sum(lanci)>5,1,0)}
Pr(1e5)
# 0.37786 +/- 0.004599736
Pr(1e6)
# 0.377404 +/- 0.001454213
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