Si lanciano 3 monete uguali su un foglio in cui è tracciato un quadrato di lato pari a 8 volte il diametro delle monete; si considerano soltanto i lanci in cui tutte e tre le monete si fermano completamente dentro al quadrato. Vogliamo scommettere "1 contro N" (N intero) di ottenere con un lancio tre monete allineate, intendendo con ciò che una delle tre monete cada sulla striscia determinata dalle altre due (vedi figura a fianco).
    Congettura (senza calcoli) e poi si stima (con un calcolo approssimato o con qualche esperimento) come occorre scegliere N per fare una scommessa conveniente. Come si potrebbe determinare più precisamente la probabilità di ottenere tre monete allineate? [suggerimento: affronta il problema non da solo, ma confrontandoti con qualcun altro]

 

A prima vista l'evento che le tre monete cadano "allineate" sembra poco probabile. Per N=1 ("1 contro 1") la nostra scommessa sarebbe equa se la probabilità che ci sia allineamento fosse 1/(1+1)=50%; per N=2 ("1 contro 2") sarebbe equa se la probabilità fosse 1/(1+2)=33%; per N=3 ("1 contro 3") sarebbe equa se la probabilità fosse 1/(1+3)=25%; …. Difficilmente si è inclini a pensare, come invece è, che la risposta giusta sia N=2, ma si suppone che la probabilità di allineamento sia molto inferiore al 33%.

Realizzando l'esperimento, dopo pochi lanci è facile convincersi dell'erroneità di queste congetture. 
Vediamo come si potrebbe giungere alle stesse conclusioni con una stima "teorica". Fissate due monete, vediamo dove deve cadere il centro della 3a affinché ci sia "allineamento".
Può cadere nella striscia determinata dalle due monete (striscia a bordi tratteggiati), allargata da entrambi i lati di un raggio (fino ai bordi spessi), che può essere un parallelogramma - fig.(1) - o un parallelogramma da cui siano stati sforbiciati i pezzi che cadono fuori dal quadrato tratteggiato (entro cui stanno i centri delle monete che fermano interamente dentro al quadrato di lato 20 cm - fig. a lato).

 

Bisogna aggiungere il caso che una delle monete iniziali stia sulla striscia che la 3a moneta ha determinato con l'altra moneta iniziale; in fig.(2) e in fig.(3) sono raffigurate le due posizioni limite della 3a moneta affinché la striscia che essa determina con la moneta più a sinistra tocchi l'altra moneta iniziale.


(1)

(2)

(3)

(4)

Tracciate le analoghe posizioni limite relative alla striscia che la 3a moneta può determinare con la moneta più a destra, si ottiene - vedi fig.(4) - la parte di quadrato in cui deve cadere il centro della 3a moneta affinché ci sia allineamento.

Possiamo stimare che l'area in cui deve cadere il centro della 3a moneta sia mediamente compresa tra 1/2 e 1/3 dell'area del quadrato in cui può cadere. Quindi per N=2 la nostra scommessa è già conveniente.

All'origine delle congetture sbagliate con cui, spesso, si affrontano problemi come il seguente vi possono essere il non tener conto degli aspetti combinatori (ci sono 3 modi di fissare la coppia di monete che determina la striscia) e la non abitudine a fare (in contesti scolastici) ragionamenti probabilistici di tipo continuo: qui abbiamo a che fare con rapporti tra aree invece che con rapporti tra numeri.

Per realizzare più facilmente e velocemente gli esperimenti si può ricorrere ad una simulazione, ad esempio con R (vedi qui); ecco 15 prove, dove con "1" si è indicato l'"allineamento", con "0" il non "allineamento" (consideriamo anche il caso, che puņ accadere, in cui le monete si sovrappongano)

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")

SUC <- function(i) ifelse(i==3,1,i+1)

Event = function() {
 V = 0; x = NULL; y = NULL; Lato = 8; Diam = 1; L = Lato-Diam
 for(i in 1:3) { x[i] = runif(1)*L+1/2; y[i] = runif(1)*L+1/2 }; i=1
 while(i<=3) { j=SUC(i); k=SUC(j); d=point_line(x[i],y[i], x[j],y[j],x[k],y[k]); 
               i=i+1; if(d < Diam) {V = 1; i = 4} }; x <<- x; y <<- y; V }

genera = function() {
  polyC(c(0,8,8,0),c(0,0,8,8),"yellow")
  n = ifelse(Event(),1,0)
  text(0.5,0.5,n); text(7.5,7.5,n); text(0.5,7.5,n); text(7.5,0.5,n)
  for(i in 1:3) {circleC(x[i],y[i], 1/2, "white");circl(x[i],y[i], 1/2, "blue")}
  polyC(x,y, 0);  }

rowcol(3,5); for(i in 1:15) {BoxmW(0,8, 0,8); genera()}

Evitando la rappresentazione grafica, bastano poche migliaia di uscite per convincersi che la probabilità è circa del 42%. Con più uscite, e utilizzando opportunamente il teorema limite centrale, si può dedurre che la probabilità cercata è (con probabilità maggiore di 99.7%) (42.05 ± 0.05)%. Per ulteriori commenti Limiti in probabilità ne Gli Oggetti Matematici.

 
PR = function(n) {f = 0; for (i in 1:n) f = f + ifelse(Event(),1,0);
       fr = f/n; S = sqrt(fr*(1-fr)/(n-1)); cat(fr*100, "+/-", 3*S*100,'\n') }

n=10000; cat(n,"  "); PR(n)
# 10000   42.07 +/- 1.481088 
n=n*4; cat(n,"  "); PR(n)
# 40000   42.285 +/- 0.7410273 
n=n*4; cat(n,"  "); PR(n)
# 160000   42.29688 +/- 0.3705241 
n=10000; cat(n,"\t"); PR(n)
# 10000   41.98 +/- 1.480652 
n=n*4; cat(n,"\t"); PR(n)
# 40000   41.63 +/- 0.739426 
n=n*4; cat(n,"\t"); PR(n)
# 160000   42.18312 +/- 0.37039 
n=n*4; cat(n,"\t"); PR(n)
# 640000   42.00937 +/- 0.1850903 
n=n*4; cat(n,"\t"); PR(n)
# 2560000   42.00215 +/- 0.09254289 
n=n*4; cat(n,"\t"); PR(n)
# 10240000   42.05155 +/- 0.04629099

Come si vede la convergenza è "lenta": al moltiplicarsi per 4 del numero delle uscite si divide per 2 la "indeterminazione" del valore ottenuto. Anche i tempi di calcolo crescono velocemente: i primi valori sono ottenuti in pochi secondi, l'ultimo in più di un'ora.