Una azienda produce e vende DVD dei quali l'1% sono difettosi, indipendentemente l'uno dall'altro. Le confezioni in vendita sono da 10 DVD. Qual è la percentuale di confezioni con più di un DVD difettoso? Qual è la probabilità di trovare esattamente una confezione con più di un DVD difettoso su tre che se ne comprano?

Sia D il numero di pezzi difettosi in una confezione; è una variabile casuale binomiale B_{10, 1%}.
Pr(D>1) = 1 − Pr(D=0) − Pr(D=1) = 1 − C(10,0)·0.01⁰·0.99¹⁰ − C(10,1)·0.01¹·0.99⁹ = 1−0.99¹⁰−0.1·0.99⁹ = 1−0.99⁹1.09 = 0.0042662… = 0.43%.

Su tre confezioni acquistate, il numero con più di un DVD difettoso è B_{3, 0.426…%}.
La probabilità richiesta è C(3,1)·0.0042662…·(1−0.0042662…)² = 0.012689… = 1.3%.

  Per altri commenti: Leggi di distribuzione discrete neGli Oggetti Matematici.

I calcoli con la calcolatrice:

ovvero, usando il tasto [Binom(n,k) Pr=Q↓] con 0.01 in [Q]:
  Pr = 0.01  B(10,0) = 0.9043820750088044     Pr = 0.01  B(10,1) = 0.09135172474836409
  1-0.09135172474836409-0.9043820750088044 = 0.00426620024283153
  Pr = 0.00426620024283153     B(3,1) = 0.012689630881901339

che posso arrotondare col tasto "round".

I calcoli col software online WolframAlpha:
Pr( x > 1 ) where x is binomial with n =10 and p = 0.01     4918594002919309/1152921504606846976 = 0.0042662002...
Pr( 1 ) where x is binomial with n =3 and p = 4918594002919309/1152921504606846976     0.0126896308...

# I calcoli fatti con R
P <- 1 - (dbinom(0,10, 1/100) + dbinom(1,10, 1/100)); P*100
# 0.42662%
P1 <- dbinom(1,3, P); P1*100
# 1.268963%