| X varia casualmente in [0,3] con legge di distribuzione avente funzione densità rappresentata graficamente a lato. Determina media, mediana e scarto quadratico medio di X. | |
|
Osserviamo, innanzi tutto, che g è effettivamente una funzione di densità
in quanto |
(3−K)·(3−K)·2/3/3/2 = 1/2
(3−K)² = 9/2
3−K = √(9/2) = 3/√2
K = 3−3/√2 = 0.8786797 (arrotondamento)
L'espressione analitica di g(x) è (3−x)·2/3/3 =
2/9·(3−x) (verifica: g(0) = 2/3, g(3) = 0).
La media è ∫ [0,3] x·g(x) dx
= ∫ [0,3] 2/9·(3x−x²) dx =
[posto h(x) = 2/9·(3x²/2−x³/3)
- antiderivata di x·g(x)]
h(3) − h(0) = 3 − 2 = 1
La varianza è ∫ [0,3] (x−1)²·g(x) dx
= ( ∫ [0,3] 6-14x+10x²-2x³ dx)/9 =
k(3)−k(0) dove
k(x) = -2/9(-3x+(7x^2)/2-(5x^3)/3+x^4/4), da cui:
Var(X) = k(3)−k(0) = 1/2.
Quindi sqm = 1/√2 = 0.7071067811865475...
Verifica con
WolframAlpha:
integrate 2/9*(3-x)*x from x=0 to 3
#1
solve (3-K)*(3-K)*2/3/3/2 = 1/2 for K, 0 < K < 3
# 1/2 (6 - 3 sqrt(2)) = 0.8786796564403...
integrate (x-1)^2*2/9*(3-x) from x=0 to 3
# 1/2
Vediamo come affrontare lo studio sperimentalmente. Utilizziamo un semplice programmino in JavaScript (software incorporato in tutti i browser) per calcolare l'integrale approssimandolo con l'area di una sequenza di rettangolini.
Vai qui: http://macosa.dima.unige.it/js/js.htm, clicca
"macosa.dima.unige.it/js.com" e metti nella finestra in alto:
<pre><script> with(Math) {
function F(x) { return 2/9*(3-x)*x }; a = 0; b = 3
n=10000
for(i = 0; i < 5; i = i+1) {
s=0; h=(b-a)/n; for (var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}
document.writeln(n, " rettangoli, integrale di F su [a,b] = ", s*h); n=n*2
}
} </script></pre>
10000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1.0000000049999989 20000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1.000000001249999 40000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1.0000000003125085 80000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1.0000000000781206 160000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1.000000000019531
1
<pre><script> with(Math) {
function F(x) { return (x-1)*(x-1)*2/9*(3-x) }; a = 0; b = 3
n=10000
for(i = 0; i < 5; i = i+1) {
s=0; h=(b-a)/n; for (var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}
document.writeln(n, " rettangoli, integrale di F su [a,b] = ", s*h); n=n*2
}
} </script></pre>
10000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.49999999750000124 20000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.4999999993750008 40000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.4999999998437511 80000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.4999999999609373 160000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.4999999999902294
0.5
Vediamo anche come effettuare la verifica con R:
g <- function(x) 2/9*(3-x); g(3); g(0)
# 0 0.6666667
k <- function(x) g(x)*x; integrate(k,0,3)$value
# 1
q <- function(x) (x-1)^2*2/9*(3-x); integrate(q,0,3)$value
# 0.5