A un servizio telefonico di informazioni arrivano molte telefonate. Sotto è raffigurato l'istogramma di distribuzione del tempo t in secondi che passa tra l'arrivo di una telefonata e quello della successiva.

L'area di ogni rettangolino rappresenta la frequenza relativa con cui i tempi cadono nell'intervallo di base; l'area complessiva dell'istogramma è 100% = 1. Come si vede è più probabile che t sia breve piuttosto che lungo. Il contorno superiore dell'istogramma è stato approssimato col grafico della funzione indicata nella figura. (a) Dimostra che l'area che sta tra grafico della funzione e parti non negative degli assi è 1. (b) Usando la funzione approssimante valuta la probabilità che il tempo di arrivo tra una telefonata e la successiva sia compreso tra 15 sec e 45 sec. (c) Valuta la probabilità che esso sia superiore a 35 sec.

Per la parte (a) rinviamo ad un altro esercizio.
(b) Come probabilità che il tempo in secondi che intercorre tra due telefonate sia compreso tra 15 e 45 assumiamo la frequenza con cui il tempo cade in questo intervallo, ossia l'area dell'istogramma compresa tra questi due valori, che approssimiamo con: ∫I 0.1 e–0.1x dx, I = [15,45].
∫[15,45]0.1 e–0.1xdx = [t=–0.1x, dt/dx=–0.1, dx=-10dt] –∫[-1.5,-4.5]etdt = –([et]t=-4.5–[et]t=-1.5) = e-1.5–e-4.5 = [con la calcolatrice] 0.212 = 21.2%
(controllo con una stima grafica: l'area è circa quella di un triangolo di base 20 e altezza 0.02: 0.02*20/2 = 0.2. OK)
(c) Pr(t > 35) = 1 − Pr( NOT t > 35) = 1 − Pr(t ≤ 35) = 1 − ∫[0,35] 0.1 e–0.1x dx = 1 − (e0–e-3.5) = e-3.5 = 0.0301973... = [arrotondando] 3.0%

I calcoli con WolframAlpha:

Posso anche rispondere ad (a): integrate 0.1*exp(-0.1*x) dx from 0 to INF

 
Rivediamo come affrontare lo studio sperimentalmente. Utilizziamo un semplice programmino in JavaScript (software incorporato in tutti i browser) per calcolare l'integrale approssimandolo con l'area di una sequenza di rettangolini. Vai qui: http://macosa.dima.unige.it/js/js.htm, clicca "macosa.dima.unige.it/js.com" e metti nella finestra in alto:

<pre><script> with(Math) {
function F(x) { return  0.1*exp(-0.1*x) }; a = 15; b = 45
document.writeln("F(x) = 0.1*exp(-0.1*x); a = 15; b = 45")
n=5000
for(i = 0; i < 5; i = i+1) {
  s=0; h=(b-a)/n; for (var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}
  document.writeln(n, " rettangoli, integrale di F su [a,b] = ", s*h); n=n*2
   }
} </script></pre>

F(x) = 0.1*exp(-0.1*x); a = 15; b = 45
5000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.21202116042986965
10000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.21202116281510774
20000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.21202116341141733
40000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.21202116356049455
80000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.2120211635977679

<pre><script> with(Math) {
function F(x) { return  0.1*exp(-0.1*x) }; a = 0; b = 35
document.writeln("F(x) = 0.1*exp(-0.1*x); a = 0; b = 35")
n=5000
for(i = 0; i < 5; i = i+1) {
  s=0; h=(b-a)/n; for (var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}
  document.writeln(n, " rettangoli, 1 - integrale di F su [a,b] = ", 1-s*h); n=n*2
   }
} </script></pre>

F(x) = 0.1*exp(-0.1*x); a = 0; b = 35
5000 rettangoli, 1 - integrale di F su [a,b] = 0.030197403222453345
10000 rettangoli, 1 - integrale di F su [a,b] = 0.030197388372357636
20000 rettangoli, 1 - integrale di F su [a,b] = 0.03019738465983124
40000 rettangoli, 1 - integrale di F su [a,b] = 0.030197383731682903
80000 rettangoli, 1 - integrale di F su [a,b] = 0.03019738349965262

<pre><script> with(Math) {
function APPR(x,n) {return round(x*pow(10,n))/pow(10,n)}
function F(x) { return  0.1*exp(-0.1*x) }
a = 0; b = 1e1
n=1e5; s=0; h=(b-a)/n; for(var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}; A=s*h
a = 1e1; b = 1e2
n=1e5; s=0; h=(b-a)/n; for(var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}; B=s*h
a = 1e2; b = 1e3
n=1e5; s=0; h=(b-a)/n; for(var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}; C=s*h   
document.writeln(A,"+",B,"+",C," = ",A+B+C)
document.writeln( APPR(A+B+C,10) )
document.writeln( APPR(A+B+C,8) )
} </script></pre>

0.6321205588259231+0.36783404111754364+0.000045399928230234575 = 0.999999999871697
0.9999999999
1

Alternativa: i calcoli con questo semplice script:

function F(x) {
with(Math) {
return  0.1*exp(-0.1*x)
}}

0.21202116361020118  if a=15 b=45 n=256e4 [6.186717804723685e-14]
0.2120211636101393   if a=15 b=45 n=128e4 [1.4124812430793554e-13]
0.21202116360999806  if a=15 b=45 n=64e4 [5.898614929833457e-13]
0.2120211636094082   if a=15 b=45 n=32e4 [2.326583370404478e-12]
0.21202116360708162  if a=15 b=45 n=16e4 [9.31371646473167e-12]
0.2120211635977679   if a=15 b=45 n=8e4 [3.7273351072286687e-11]
0.21202116356049455  if a=15 b=45 n=4e4 [1.4907722278856284e-10]
0.21202116341141733  if a=15 b=45 n=2e4 [5.963095850436417e-10]
0.21202116281510774  if a=15 b=45 n=1e4 [2.3852380903743864e-9]
0.21202116042986965  if a=15 b=45 n=5e3 [0.21202116042986965]

0.2120211636102 (ma basta 0.212)

0.969802616577537   if a=0 b=35 n=256e4 [2.361444373377708e-13]
0.9698026165773008  if a=0 b=35 n=128e4 [7.961409309586998e-13]
0.9698026165765047  if a=0 b=35 n=64e4 [3.691380534576183e-12]
0.9698026165728133  if a=0 b=35 n=32e4 [1.4478307441834204e-11]
0.969802616558335   if a=0 b=35 n=16e4 [-1.9201973344706857e-11]

1 - 0.9698026165776 = 0.0301973834224 (ma basta 0.030)
 

Facendo i calcoli con R (vedi):

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) 0.1*exp(-0.1*x)
integral(f, 15,45)
# 0.2120212
integral(f, 35, Inf)
# 0.030197