Dato l'istogramma di distribuzione, la media è approssimabile con la somma dei valori centrali x_i degli intervallini moltiplicati per l'area del corrispondente rettangolino (è la media pesata dei valori x_i prendendo come "pesi" le aree del rettangolini, ossia le frequenze relative).
Nel caso in cui il grafico di f approssimi il contorno superiore dell'istogramma le aree dei rettangolini sono approssimate da f(x_i)·Δx (vedi fig. a lato; cliccala per ingrandirla). La somma Σ_ix_i·f(x_i)·Δx è approssimata dall'integrale ∫_Ix·f(x) dx dove I è l'intervallo per cui si estende l'istogramma di distribuzione.
Determina il tempo medio che intercorre tra una telefonata e l'altra nella situazione illustrata nel quesito precedente.

Devo fare ∫_Ix·0.1 e^–0.1xdx con I=[0,∞]. Poniamo h=0.1, ossia consideriamo ∫_Ix·h e^–hxdx
Faccio l'integrale su [0,q] e poi ne faccio il limite per q→∞
u = -hx; du/dx = -h; dx = -du/h
∫_[0,q]x·h·e^–hxdx = 1/h∫_[0,-hq]u·e^udu =
[integro ∫u e^udu per parti: penso u·e^u come u·D(e^u), e uso:
D(u·e^u) = e^u + u·D(e^u) da cui
u·e^u = D(u·e^u) – e^u
∫u e^udu = ∫(D(u·e^u) – e^u)du = u·e^u – ∫e^udu = (u–1)e^u + C]
=1/h ( [(u–1)e^u]_u=-hq – [(u–1)e^u]_u=0 ) → 1/h(0+1) = 1/h per q→∞
Quindi la media è 1/h, ossia 1/0.1 = 10.
Mediamente tra una telefonata e l'altra passano 10 sec.

I calcoli con WolframAlpha:

integrate x*0.1*exp(-0.1*x) x=0..Inf

Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) x*0.1*exp(-0.1*x); integral(f,0,Inf)
integral(f,0,Inf)
# 10