Dato l'istogramma di distribuzione, la media è approssimabile con la somma dei valori centrali xi degli intervallini moltiplicati per l'area del corrispondente rettangolino (è la media pesata dei valori xi prendendo come "pesi" le aree del rettangolini, ossia le frequenze relative).
Nel caso in cui il grafico di f approssimi il contorno superiore dell'istogramma le aree dei rettangolini sono approssimate da  f(xi)·Δx  (vedi fig. a lato; cliccala per ingrandirla).
La somma Σixi·f(xi)·Δx è approssimata dall'integrale  I x·f(x) dx  dove I è l'intervallo per cui si estende l'istogramma di distribuzione.
  
    Determina il tempo medio che intercorre tra una telefonata e l'altra nella situazione illustrata nel quesito precedente.
Devo fare ∫Ix·0.1 e–0.1xdx con I=[0,∞]. Poniamo h=0.1, ossia consideriamo Ix·h e–hxdx
Faccio l'integrale su [0,q] e poi ne faccio il limite per q→∞
u = -hx;   du/dx = -h;   dx = -du/h
[0,q]x·h·e–hxdx = 1/h∫[0,-hq]u·eudu =
  [integro ∫u eudu per parti: penso u·eu come u·D(eu), e uso:
 D(u·eu) = eu + u·D(eu) da cui
 u·eu = D(u·eu) – eu
 ∫u eudu = ∫(D(u·eu) – eu)du = u·eu – ∫eudu = (u–1)eu + C]
=  1/h ( [(u–1)eu]u=-hq – [(u–1)eu]u=0 ) → 1/h(0+1) = 1/h per q→∞
Quindi la media è 1/h, ossia 1/0.1 = 10.
Mediamente tra una telefonata e l'altra passano 10 sec.
Con R (vedi):
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) x*0.1*exp(-0.1*x); integral(f,0,Inf)
integral(f,0,Inf)
# 10