Una variabile casuale ha una legge di distribuzione con densità definita su IR del tipo x → k·e−|x|. A destra è tracciato il grafico di tale funzione di densità. Trova il valore di k, la media e lo scarto quadratico medio della variabile casuale, e la scala del grafico.

Per simmetria, l'integrale su (−∞,∞) è pari al doppio dell'integrale su [0,∞) di x → k·e^−x, che è pari a k per l'integrale su [0,∞) di x → e^−x, ossia ( Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici) a k.  L'integrale è dunque 2k. Esso deve essere eguale ad 1, quindi k = 1/2 (e b = 1/2, ed a = 1, in quanto exp(-1)/2 = 1.8..., che corrisponde all'ordinata del punto di ascissa a).
Essendo il grafico della densità simmetrico rispetto all'asse y (ossia essendo la funzione dispari) la media è nulla.
La varianza è ∫_(−∞,∞) x²e^−x/2 dx = 2·∫_[0,∞) x²e^−x/2 dx = 2. Quindi σ = √2.

∫ x²e^−x dx = −x²e^−x−2x e^−x−2 e^−x (+c);  non volendo effettuare questa manipolazione simbolica e da questa ricavare l'integrale definito precedente, possiamo utilizzare un programma che effettui il calcolo numericamente. Ad es. con R ottengo:
t <- function(x) x^2*exp(-x)/2; integrate(t,0,Inf)
# 1

Per altri commenti: Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici.
 

Con WolframAlpha:
integrate k*exp(-abs(x)) from -inf to inf
2*k
plot 2*exp(-abs(x)), x=-4..4

integrate x*x*exp(-abs(x))/2 from -inf to inf
2

 
Vediamo come affrontare lo studio sperimentalmente. Utilizziamo un semplice programmino in JavaScript (software incorporato in tutti i browser) per calcolare l'integrale approssimandolo con l'area di una sequenza di rettangolini. Vai qui: http://macosa.dima.unige.it/js/js.htm, clicca "macosa.dima.unige.it/js.com" e metti nella finestra in alto:

<pre><script> with(Math) {
function F(x) { return  x*x*exp(-abs(x))/2 }; a = 0; b = 20
n=5000
for(i = 0; i < 5; i = i+1) {
  s=0; h=(b-a)/n; for (var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}
  document.writeln(n, " rettangoli, integrale di F su [a,b] = ", s*h); n=n*2
   }
} </script></pre>

5000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.9999995444862307
10000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.9999995444851651
20000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.9999995444850659
40000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.9999995444850522
80000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 0.9999995444850504

Estendendo l'intervallo e introducendo una funzione di arrotondamento, per arrotondare a 10 cifre decimali:

<pre><script> with(Math) {
function APPR(x,n) {return round(x*pow(10,n))/pow(10,n)}
function F(x) { return  x*x*exp(-abs(x))/2 }; a = 0; b = 30
n=5000
for(i = 0; i < 5; i = i+1) {
  s=0; h=(b-a)/n; for (var j=0; j < n; j=j+1) {s = s + F(a+(j+1/2)*h)}
  document.writeln(n, " rettangoli, integrale di F su [a,b] = ", APPR(s*h,10)); n=n*2
   }
} </script></pre>

5000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1
10000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1
20000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1
40000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1
80000 rettangoli, integrale di F su [a,b] = 1

Come possiamo fare il calcolo con questa calcolatrice online:

function F(x) {
with(Math) {
return  x*x*exp(-abs(x))/2
}}

1.9999999999194222  if a=-30 b=30 n=1e4 [9.316991844698919e-9]
1.9999999906024304  if a=-25 b=25 n=1e4 [9.016299740149947e-7]
1.9999990889724564  if a=-20 b=20 n=1e4 [0.00007770584585742313]
1.999921383126599   if a=-15 b=15 n=1e4 [0.005460173952171576]
1.9944612091744274  if a=-10 b=10 n=1e4 [0.24376524392936805]
1.7506959652450593  if a=-5 b=5 n=1e4   [0]