Sia f la funzione definita in [−1, 1] tale che f(x) = −x + 1 se 0 ≤ x ≤ 1, f(x) = 1/(x−1)2 se −1 ≤ x < 0.
(a) Tracciare il grafico di f.
(b) Verificare che f è una funzione densità su [−1, 1] ( ossia che l'integrale di f tra -1 e 1 vale 1).
(c) Calcolare la relativa media, ossia, posto g(x) = x·f(x), calcolare l'integrale di g su [−1, 1].

(a)  Ecco, a destra, il grafico di f. Il ramo sinistro è un tratto di y=1/x2 traslato a destra di 1. Il ramo destro è un tratto di y=−x alzato di 1.
(b)  La funzione f è continua tra −1 ed 1, quindi è ivi integrabile. Inoltre ∫ [−1,1] f = ∫ [−1,0] f + ∫ [0,1] f.
∫ [−1,0] f = ∫ [−1,0] 1/(x−1)2 dx =  (essendo y=1/(x−1)2 simmetrica rispetto all'asse y)  ∫ [0,1] 1/(x−1)2 dx =  (traslo a destra di 1)  ∫ [1,2] 1/x2 dx = [–x–1] x=2 – [–x–1] x=1 = –1/2+1 = 1/2.
∫ [0,1] f = ∫ [0,1] (−x+1) dx = 1/2 (è l'area di un rettangolo di bas e altezza pari ad 1).
Quindi ∫ [−1,1] f = 1/2+1/2 = 1. 		  

(c)  La media è:
∫[−1,1] x·f(x)dx = ∫[−1,0] x·f(x)dx + ∫[0,1] x·f(x)dx = ∫[−1,0] x/(x−1)2 dx + ∫[0,1] (−x+1)x dx = 1/2 − log(2) + 1/6 = 2/3 − log(2) = −0.02648...

Per vedere un esercizio simile (la funzione è la stessa, ribaltata rispetto all'asse y e traslata orizzontalmente), clicca (la media è la stessa, sottoposta alle stesse trasformazioni del grafico).

A destra come ottenere grafico e risultati dei calcoli con R.

Per altri commenti: Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici.

     
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
f = function(x) ifelse(x>=0, -x+1, 1/(x-1)^2)
BF=3.5; HF=2.6
graphF(f, -1,1, "brown")
Z = function(x) 0; Diseq(Z,f, -1,1, "orange")
BOX()  # colorata la "diseq." ritraccio gli assi
graph(f, -1,1, "brown")
g = function(x) x*f(x); integral(g,-1,1)
# -0.02648051

Esempio di come si potrebbe impiegare facilmente WolframAlpha: