Lancio ripetutamente un dado equo fino a che esce il 6. Sia N il numero dei lanci che effettuo. Se esce subito il 6 N vale 1, se esce al secondo lancio N vale 2, …. Qual è la media di N, ossia qual è il numero medio di lanci da effettuare affinché esca il 6?  Calcola, analogamente, M(N) nel caso in cui N sia il numero di volte in cui occorre pescare una carta dalle 13 carte di denari fino ad ottenere un 5 (reintroducendo ogni volta la carta estratta e rimescolando il mazzo).

Con probabilità 1/6 N=1, ossia viene 6 al primo lancio con  Pr(N=1) = 1/6.
La probabilità che venga 6 si mantiene la stessa nei lanci successivi, ma via via, ovviamente, rispetto all'inizio dei lanci essa si riduce ai 5/6 del valore precedente: Pr(N=2) = (5/6)/6.
Pr(N=3) = (5/6)(5/6)(1/6) = (5/6)2/6 =
In generale:  Pr(N = h) = (5/6)h−1/6

Per controllare il ragionamento verifichiamo se Pr(N=1) + Pr(N=2) + Pr(N=3) + ... = 1. Facciamolo sperimentalmente con questo script →

Oppure facciamolo con WolframAlpha:
((5/6)^0)/6+((5/6)^1)/6+((5/6)^2)/6 + ...
 

Calcoliamo M(N). Possiamo farlo sperimentalmente con questo script →

Oppure facciamolo con WolframAlpha:
sum (n*((5/6)^(n-1))/6), n=1..inf
 

Procedo analogamente per il calcolo di M(N) nel caso del mazzo di 13 carte di denari. Con questo script →

Oppure con WolframAlpha:
sum (n*((12/13)^(n-1))/13), n=1..inf
 

In generale, il numero medio per cui occorre pescare una carta (con successiva reintroduzione) tra Q carte distinte per ottenerne una particolare è proprio Q.


Possiamo fare i calcoli anche con R:
n <- 1; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+1/6*(5/6)^(i-1); s
# 0.1666667
n <- 10; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+1/6*(5/6)^(i-1); s
# 0.8384944
n <- 100; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+1/6*(5/6)^(i-1); s
# 1

n <- 1; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/6*(5/6)^(i-1); s
# 0.1666667
n <- 100; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/6*(5/6)^(i-1); s
# 5.999999
n <- 1000; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/6*(5/6)^(i-1); s
# 6

n <- 1; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/13*(12/13)^(i-1); s
# 0.07692308
n <- 100; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/13*(12/13)^(i-1); s
# 12.96225
n <- 1000; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/13*(12/13)^(i-1); s
# 13