Lancio ripetutamente un dado equo fino a che esce il 6. Sia N il numero dei lanci che effettuo. Se esce subito il 6 N vale 1, se esce al secondo lancio N vale 2, . Qual è la media di N, ossia qual è il numero medio di lanci da effettuare affinché esca il 6? Calcola, analogamente, M(N) nel caso in cui N sia il numero di volte in cui occorre pescare una carta dalle 13 carte di denari fino ad ottenere un 5 (reintroducendo ogni volta la carta estratta e rimescolando il mazzo).
• Con probabilità 1/6 N=1, ossia viene 6 al primo lancio con
•
La probabilità che venga 6 si mantiene la stessa nei lanci successivi,
ma via via, ovviamente, rispetto all'inizio dei lanci essa si riduce ai 5/6 del valore
precedente:
• Pr(N=3) =
• In generale: Pr(N = h) = (5/6)h−1/6
Per controllare il ragionamento verifichiamo se Pr(N=1) + Pr(N=2) + Pr(N=3) + ... = 1.
Facciamolo sperimentalmente con questo script → Oppure facciamolo con WolframAlpha: |
• Calcoliamo M(N). Possiamo farlo sperimentalmente con questo script → Oppure facciamolo con WolframAlpha: |
• Procedo analogamente per il calcolo di M(N) nel caso del mazzo di 13 carte di denari.
Con questo script → Oppure con WolframAlpha: |
In generale, il numero medio per cui occorre pescare una carta (con successiva reintroduzione) tra Q carte distinte per ottenerne una particolare è proprio Q.
Possiamo fare i calcoli anche con R:
n <- 1; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+1/6*(5/6)^(i-1); s
# 0.1666667
n <- 10; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+1/6*(5/6)^(i-1); s
# 0.8384944
n <- 100; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+1/6*(5/6)^(i-1); s
# 1
n <- 1; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/6*(5/6)^(i-1); s
# 0.1666667
n <- 100; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/6*(5/6)^(i-1); s
# 5.999999
n <- 1000; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/6*(5/6)^(i-1); s
# 6
n <- 1; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/13*(12/13)^(i-1); s
# 0.07692308
n <- 100; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/13*(12/13)^(i-1); s
# 12.96225
n <- 1000; s <- 0; for(i in 1:n) s <- s+i*1/13*(12/13)^(i-1); s
# 13