Una variabile casuale ha una legge di distribuzione con densità definita su [0,1]  da:  x → 6·x·(1 − x).  Verificare che questa è effettivamente una fuzione di densità e determinarne media, mediana e, in modo approssimato (a 3 cifre), 25° percentile e 75° percentile, e scarto quadratico medio.  Calcolare la probabiltà che la variabile assuma valori che distino dalla media meno dello scarto quadratico medio.   
A lato è tracciato il grafico delle nostra funzione; chiamiamola h.  h(0) = 0, h(1) = 0. Si tratta di un arco di parabola con asse di simmetria vericale. Quindi sicuramente, se si tratta di una funzione di densità, per simmetria, avrà media e mediana coincidenti con 1/2. Per verificare che è una funzione densità calcoliamo  [0,1] f.

[0,1] f = ∫ [0,1] 6(x−x2) dx = 6 ∫ [0,1] x−x2 dx = 6( [x2/2−x3/3]x=1 − [x2/2−x3/3]x=0 ) = 6(1/2−1/3) = 3−2 = 1. OK.

Controllo col software oline WolframAlpha (vedi):

Controllo con R:
f <- function(x) 6*x*(1-x); integrate(f,0,1)$value
## 1

Il 25° percentile è il numero p tale che  [0,p] f = 1/4, ossia tale che  6 (p2/2−p3/3) = 1/4, ossia tale che  12p2−8p3 = 1.
Per trovare il valore di p posso procedere per tentativi ragionati, usando una calcolatrice tascabile:  K(p)=12*p^2-8*p^3, K(0.2)=0.416, K(0.3)=0.864, K(0.4)=1.408, K(0.35)=1.127, K(0.33)=1.019304, K(0.32)=0.966656, K(0.325)=0.992875, K(0.327)=1.003421736, K(0.326)=0.998144192, K(0.3265)=1.000781923, e concludere che 0.326 è l'approssimazione cercata,  oppure ricorrere ad un programma (come R) per la ricerca della soluzione di un'equazione:
da polyroot(c(-1,0,12,-8)) o uniroot(h, c(0.2,0.5), tol=1e-10)$root ottengo che 0.326351... è una soluzione, e la arrotondo a 0.326.

Controllo con WolframAlpha (vedi); fra 0 ed 1 ho 0.32635:

Il 75° percentile, per simmetria, è 1−0.326 = 0.674.

Varianza = ∫ [0,1] (x−1/2)2·f(x) dx = [0,1] (x−1/2)2·6(x−x2) dx = [−6/5·x5 + 3·x4 − 5/2·x3 + 3/4·x2] x=1 = 1/20.
Sc. quad. medio = √(1/20) = √5/10 = 0.2236068 (arrotondamento).

Con R:
F <- function(x) f(x)*(x-1/2)^2
integrate(F,0,1)$value; sqrt(integrate(F,0,1)$value)
# 0.05   0.2236068

Indichiamo con σ lo sc.quad.medio. Dobbiamo valutare ∫ [1/2−σ, 1/2+σ] f.
6 ( [x2/2−x3/3]x=1/2+σ − [x2/2−x3/3]x=1/2−σ ) = 0.626099 (arrotondamento).

Con R:
S <- sqrt(integrate(F,0,1)$value); integrate(f,1/2-S,1/2+S)$value
# 0.626099

Potevo calcolare integrate 6*x*(1-x) dx from x=1/2-sqrt(1/20) to 1/2+sqrt(1/20) anche con WolframAlpha ottenendo oltre a 0.626099 la sua espressione "esatta" 7/(5√5)

  Per altri commenti: Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici.