lato   volume  freq. 1 1 1 2 8 2 3 27 3 4 64 4 5 125 5

lato   volume  freq. 6 216 5 7 343 4 8 512 3 9 729 2 10 1000 1

Consideriamo 30 cubi, 1 di lato 1, 2 di lato 2, …, 1 di lato 10, come indicato nella tabella a lato. Rappresenta graficamente la distribuzione dei lati e quella dei volumi. Discuti l'esistenza del "cubo medio" e del "cubo mediano" (traccia: determina il lato medio e il volume medio dei cubi, e quindi i corrispondenti valori mediani).

Ecco, sotto, i due istrogrammi di distribuzione.

Il lato medio è 5.5, il volume medio è 247.5, che è diverso da 5.53. Quindi il "cubo medio" non esiste.
Invece il cubo del lato mediano è pari al volume mediano.
Ciò accade perché la funzione F: Lato → Volume non è lineare; se lo fosse gli istogrammi avrebbero andamento simile e avremmo VolumeMedio = F(LatoMedio).  Poiché F è crescente, cioè conserva l'ordine, abbiamo invece che VolumeMediano = F(LatoMediano) (ricordiamo che la mediana è il 50° percentile, cioè il valore del dato che sta a metà nell'elenco ordinato per valore dei dati; se i dati sono pari, prendiamo il più piccolo dei dati centrali: vedi).

Per un semplice esempio convincente si pensi ai tre dati x−1, x, x+1. La media è x. Il quadrato della media è x².
La media dei quadrati è ((x−1)²+x²+(x+1)²)/3 = (3x²+2)/3 = x²+2/3

  Per altri commenti: Limiti in probabilità (e Indici di posiz. e dispers.,  diagrammi) neGli Oggetti Matematici.