L'uomo medio non esiste

Sotto sono tracciati gli istogrammi di distribuzione delle altezze e dei pesi dei maschi ventenni italiani rilevate alla visita di leva per la Marina del 1997 (sono indicati anche i corrispondenti valori della media e della mediana).

Non è corretto dire che (in tale anno, per tale fascia di età) l'uomo medio aveva altezza e peso di 174.9 cm e di 71.3 kg!

L'uomo medio … non esiste.  Nel caso delle altezze e dei pesi delle persone possiamo mettere in relazione i valori mediani ma non quelli medi; infatti la funzione che associa ad ogni altezza (approssimata, ad esempio, ai millimetri) il peso medio delle persone di tale altezza è una funzione che è (almeno se si tratta di un campione abbastanza numeroso) crescente e non lineare (anche se, per motivi fisiologici, non è cubica come nel caso che, al posto delle persone, avessimo dei cubetti di materiale omogeneo); potremmo, eventualmente, dire che, nel 1997, l'italiano maschio ventenne mediano aveva altezza di 174.8 cm e peso di 70.2 kg.

Per chiarire questo aspetto consideriamo il seguente esempio, più semplice.

lato   volume  freq. 1 1 1 2 8 2 3 27 3 4 64 4 5 125 5

lato   volume  freq. 6 216 5 7 343 4 8 512 3 9 729 2 10 1000 1

Consideriamo 30 cubi, 1 di lato 1, 2 di lato 2, …, 1 di lato 10, come indicato nella tabella a lato. Rappresentiamo graficamente la distribuzione dei lati e quella dei volumi. Determiniamo il lato medio e il volume medio dei cubi, e quindi i corrispondenti valori mediani.

Ecco, sotto, i due istrogrammi di distribuzione.

Il lato medio è 5.5, il volume medio è 247.5, che è diverso da 5.53. Quindi il "cubo medio" non esiste.
Invece il cubo del lato mediano è pari al volume mediano.
Ciò accade perché la funzione F: Lato → Volume non è lineare; se lo fosse gli istogrammi avrebbero andamento simile e avremmo VolumeMedio = F(LatoMedio).  Poiché F è crescente, cioè conserva l'ordine, abbiamo invece che VolumeMediano = F(LatoMediano) (ricordiamo che la mediana è il 50° percentile, cioè il valore del dato che sta a metà nell'elenco ordinato per valore dei dati; se i dati sono pari, prendiamo il più piccolo dei dati centrali).

Per un semplice esempio convincente si pensi ai tre dati x−1, x, x+1. La media è x. Il quadrato della media è x².
La media dei quadrati è ((x−1)²+x²+(x+1)²)/3 = (3x²+2)/3 = x²+2/3

La massa delle persone non varia come il cubo dell'altezza in quanto la dimensione della struttura ossea non varia proporzionalmente alla altezza, e lo stesso accade per la lunghezza delle altre parti del corpo umano, anche perché le loro dimensioni sono influenzate dall'alimentazione, dalle condizioni di salute e di vita più in generale. Comunque, come nel caso dei cubetti, varia in modo più che lineare.

Per fare un altro esempio riferito ad "animali" consideriamo il peso delle uova.  A lato l'istogramma di distribuzione dei pesi di 100 uova estratte a caso tra quelle prodotte giornalmente da galline di razza livornese di un'azienda avicola (i dati, reali, sono tratti dal volume "Che cos'è la statistica" di U.Pampallona e L. Ragusa Gilli). La relazione è più vicina ad essere cubica nel caso di lunghezza e peso ad esempio di una "popolazione" di fave provenienti da una stessa coltivazione.