Un numeroso gruppo di operai maschi ha peso medio di 76 kg, con deviazione standard di 12 kg.
(a) Se seleziono, a caso, 36 operai qual è la probabilità che la media dei loro pesi stia tra 74 e 78 kg?
(b) E se ne seleziono 144?

I pesi non hanno distribuzione gaussiana, ma la media dei pesi (come la media di ogni altra variabile casuale) sì. Infatti, come conseguenza del teorema limite centrale, abbiamo, nel caso (a), che la media dei nostri pesi ha andamento gaussiano con media 76 e σ 12/√36 = 2. Usando un programmino di integrazione numerica o, ad esempio, questo script online, possiamo trovare:
0.68268949234   se  a=74  b=78  m=76  sigma=2
e prendere, tenendo conto che i dati iniziali erano arrotondati, 68%.
Analogamente, per (b), abbiamo che σ è 12/√144 = 1 e, con un programmino:
0.95449973539   se  a=74  b=78  m=76  sigma=1
prendendo 95%.
In questo caso i dati erano scelti in modo da essere elaborabili facilmente; nella pratica in genere questo non accade.

  Per altri commenti: Limiti in probabilità neGli Oggetti Matematici.

# Calcoli con R:
f <- function(x) dnorm(x, mean=m, sd=s)
m <- 76; s <- 2; integrate(f,74,78)
# 0.6826895
m <- 76; s <- 1; integrate(f,74,78)
# 0.9544997