La variabile casuale pari al cubo di una variabile gaussiana è gaussiana? Verificalo, e discuti la cosa, a partire dai dati che puoi generare col seguente script.

Ecco l'elaborazione statistica di due esempi, ottenuti elevando al cubo dati con andamento gaussiano, entrambi di media 2, con scarti quadratici medi pari, rispettivamente, a 0.2 e 0.6:

Se esamino i dati ottenuti impiegando lo script histogram ho (con variazioni a seconda dei valori che sono stati generati casualmente):

A = 1   B = 21   intervals = 20  their width = 1
n=1000 min=1.92005 max=20.4489 median=8.0442  1^|3^ quartile=6.4891 | 9.7141  mean=8.2645
%: | 0.1 | 0.5 | 1.3 | 5.9 | 10.9 | 13.1 | 17.1 | 15.7 | 13.5 | 8 | 5.7 | 3.7 | 2.9 | 0.9 | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0 | 0 | 0.1 |
1+5+13+59+109+131+171+157+135+80+57+37+29+9+3+1+2+0+0+1

Posso tracciare anche il boxplot con lo script histogram ho:

Per lo scarto quadratico medio 0.6 analogamente ottengo:

A = -5   B = 55   intervals = 12  their width = 5
n=1000 min=-0.1534 max=51.33 median=7.715  1^|3^ quartile=3.816 | 14.422  mean=9.9985
%: | 0.3 | 31.5 | 29.5 | 16 | 10.2 | 6.6 | 3.6 | 1.1 | 0.7 | 0.2 | 0.1 | 0.2 |
3+315+295+160+102+66+36+11+7+2+1+2

La mediana (o, per es., il 25° percentile) dei cubi di una serie di dati è pari al cubo della mediana (o del 25° percentile) in quanto la funzione "elevamento al cubo" è crescente; e infatti 2^3 = 8 ≈ 8.0442 ≈ 7.715.
La media dei cubi dei dati, invece, non è il cubo della media dei dati: i dati trasformati, dunque, non hanno più media e mediana coincidenti, e non hanno quindi distribuzione gaussiana. Se invece dell'elevamento al cubo avessimo avuto una trasformazione lineare avremmo ottenuto ancora una gaussiana.

Per altri commenti: Limiti in probabilità (e gli esercizi 1 e 2) neGli Oggetti Matematici.

Ecco l'elaborazione statistica ottenibile con R di due esempi analoghi, con 10000 dati.

x <- rnorm(n=10000,mean=2,sd=0.2)
y <- rnorm(n=10000,mean=2,sd=0.6)
hist(x^3); abline(h=axTicks(2),lty=3)
dev.new()
boxplot(x^3,horizontal=TRUE,range=0)
summary(x^3)
#   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
#  1.746   6.531   8.007   8.263   9.736  21.330 
dev.new()
hist(y^3); abline(h=axTicks(2),lty=3)
dev.new()
boxplot(y^3,horizontal=TRUE,range=0)
summary(y^3)
#    Min.  1st Qu.  Median  Mean  3rd Qu.   Max. 
# -0.01289  4.015  8.056  10.200  13.990  90.790