Sappiamo che il 12% della popolazione mondiale è mancina. Qual è la probabilità che in un campione casuale di 100 persone il numero di mancini sia compreso tra 10 e 14 (estremi inclusi)?

Indichiamo con X_i pari ad 1 o a 0 il fattoche l'i-ma persona sia o no mancina.
Dobbiamo valutare Pr(10 ≤ X₁+X₂+...+X₁₀₀ ≤ 14). Possiamo procedere in vari modi.
(1) La somma degli X_i ha andamento approssimativamente normale (vedi), con media 12%·100 = 12 e varianza pari a 100 volte la varianza degli X_i: 100·0.12·(1 − 0.12) = 10.56 (vedi)
s.q.m. = √10.56 = 3.24961536
Calcolando la probabilità con il computer (ad es. con questo script) otteniamo:
0.55829987074 se a=9.5 b=14.5 m=12 sigma=3.2496.
Dunque la probabilità cercata è 56%.
Nota. Nell'approssimare il fenomeno discreto col continuo devo prendere l'intervallo [9.5,14.5], non l'intervallo [10,14]; questo sarebbe un grave errore (purtroppo frequente), che darebbe luogo ad un valore ben diverso: 0.46 invece di 0.56. Non basta conoscere le formulette, occorre tener conto di che cosa si sta facendo!
(2) In modo simile, potremmo calcolare l'integrale usando un altro programma. Ad esempio con R otterremmo:

s <- sqrt(10.56); m <- 12
f <- function(x) 1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2))
integrate(f,9.5,14.5)
# 0.5582977 with absolute error < 6.2e-15

ovvero (usando la distribuzione normale predefinita):

p <- 12/100; m <- p*100; V1 <- p*(1-p); V <- V1*100; s <- sqrt(V)
m; s
#  12  3.249615
dn <- function(x) dnorm(x,mean=m,sd=s); integrate(dn,9.5,14.5)
# 0.5582977 with absolute error < 6.2e-15

(3) In alternativa, e con più sicurezza, potremmo simulare il fenomeno con questo script, in cui descriviamo esattamente il fenomeno con le righe:
U=0; for (i=1; i<101; i=i+1) {if (random()<=0.12) {U=U+1}};
if (U>=10 && U<=14) {V=1} else {V=0}
ottenendo:

Approssimazione (con una confidenza del 99.7%) della probabilità di un evento
...
n=20480000 55.825703125% +/- 0.03291987767702286%
n=10240000 55.8092578125% +/- 0.0465575447034116%
n=5120000 55.81927734375% +/- 0.0658407590620138%
n=2560000 55.794296875% +/- 0.09311838018533523%
n=1280000 55.773359375% +/- 0.1316957675309339%
n=640000 55.7225% +/- 0.186268084858346%
n=320000 55.6390625% +/- 0.2634736596503717%
n=160000 55.620625% +/- 0.3726242747421196%
n=80000 55.66375% +/- 0.5269200018518686%
n=40000 55.345% +/- 0.7457116544092549%
n=20000 55.065% +/- 1.0552304365936929%
n=10000 55.51% +/- 1.490938697539232%

(4) Con lo script calcolatrice posso ottenere:

Pr = 0.12 B(100,10) = 0.10803333569827397
[ che equivale a Cbin(100,10)*0.12^10*(1-0.12)^(100-10) ]
Pr = 0.12 B(100,11) = 0.12053306048980986
Pr = 0.12 B(100,12) = 0.12190275435901218
Pr = 0.12 B(100,13) = 0.11252561940831889
Pr = 0.12 B(100,14) = 0.09535450216094561
0.09535450216094561+0.11252561940831889+0.12190275435901218+0.12053306048980986 +0.10803333569827397 = 0.5583492721163605

che arrotondo a 56%
(5) Con WolframAlpha:
prob 10 <= x <= 14 for x binomial with n=100 and p = 0.12
2514581573845829/4503599627370496 ≈ 0.558349
o:
for k=10 to 14 sum( binomial(100,k)*0.12^k*0.88^(100-k) ) (6) Col software statistico R (vedi) basta battere:
sum(dbinom(10:14, 100, 0.12))
per ottenere: 0.5583493 (che arrotondiamo a 56%)

Per altri commenti: Limiti in probabilità neGli Oggetti Matematici.