Sappiamo che il 12% della popolazione mondiale è mancina. Qual è la probabilità che in un campione casuale di 100 persone il numero di mancini sia compreso tra 10 e 14 (estremi inclusi)?

Indichiamo con Xi pari ad 1 o a 0 il fattoche l'i-ma persona sia o no mancina.
Dobbiamo valutare  Pr(10 ≤ X1+X2+...+X100 ≤ 14). Possiamo procedere in vari modi.
(1)  La somma degli Xi ha andamento approssimativamente normale (vedi), con media 12%·100 = 12 e varianza pari a 100 volte la varianza degli X:  100·0.12·(1 − 0.12) = 10.56  (vedi)
s.q.m. = √10.56 = 3.24961536
Calcolando la probabilità con il computer (ad es. con questo script) otteniamo:
    0.55829987074  se a=9.5  b=14.5  m=12  sigma=3.2496.
Dunque la probabilità cercata è 56%.
Nota. Nell'approssimare il fenomeno discreto col continuo devo prendere l'intervallo [9.5,14.5], non l'intervallo [10,14]; questo sarebbe un grave errore (purtroppo frequente), che darebbe luogo ad un valore ben diverso: 0.46 invece di 0.56. Non basta conoscere le formulette, occorre tener conto di che cosa si sta facendo!
(2)  In modo simile, potremmo calcolare l'integrale usando un altro programma. Ad esempio con R otterremmo:

s <- sqrt(10.56); m <- 12
f <- function(x) 1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2))
integrate(f,9.5,14.5)
# 0.5582977 with absolute error < 6.2e-15
ovvero (usando la distribuzione normale predefinita):
p <- 12/100; m <- p*100; V1 <- p*(1-p); V <- V1*100; s <- sqrt(V)
m; s
#  12  3.249615
dn <- function(x) dnorm(x,mean=m,sd=s); integrate(dn,9.5,14.5)
# 0.5582977 with absolute error < 6.2e-15
(3)  In alternativa, e con più sicurezza, potremmo simulare il fenomeno con questo script, in cui descriviamo esattamente il fenomeno con le righe:
U=0; for (i=1; i<101; i=i+1) {if (random()<=0.12) {U=U+1}};
if (U>=10 && U<=14) {V=1} else {V=0}
ottenendo:
Approssimazione (con una confidenza del 99.7%) della probabilità di un evento
...
n=1000000 55.8338% +/- 0.14897557917915003%
n=800000 55.84775% +/- 0.16655427838907783%
n=600000 55.862% +/- 0.1923138476060074%
n=400000 55.7935% +/- 0.23557362816476446%
n=100000 55.919% +/- 0.4710086071411859%
n=50000 56.016% +/- 0.6659536498926003%
n=20000 55.525% +/- 1.0541911755946998%
n=10000 56.13% +/- 1.488758687713702%
(4)  Col software statistico R (vedi) basta battere:
sum(dbinom(10:14, 100, 0.12))
per ottenere:  0.5583493 (che arrotondiamo a 56%)

  Per altri commenti: Limiti in probabilità neGli Oggetti Matematici.