Sappiamo che il 12% della popolazione mondiale è mancina. Qual è la probabilità che in un campione casuale di 100 persone il numero di mancini sia compreso tra 10 e 14 (estremi inclusi)?

Indichiamo con X_i pari ad 1 o a 0 il fattoche l'i-ma persona sia o no mancina.
Dobbiamo valutare Pr(10 ≤ X₁+X₂+...+X₁₀₀ ≤ 14). Possiamo procedere in vari modi.
(1) La somma degli X_i ha andamento approssimativamente normale, con media 12%·100 = 12 e varianza pari a 100 volte la varianza degli X_i: 100·0.12·(1 − 0.12) = 10.56 (vedi)
s.q.m. = √10.56 = 3.24961536
Calcolando la probabilità con il computer (ad es. con questo script) otteniamo:
0.55829987074 se a=9.5 b=14.5 m=12 sigma=3.2496.
Dunque la probabilità cercata è 56%.
(2) In modo simile, potremmo calcolare l'integrale usando un altro programma. Ad esempio con R otterremmo:

s <- sqrt(10.56); m <- 12
f <- function(x) 1/(sqrt(2*pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2))
integrate(f,9.5,14.5)
# 0.5582977 with absolute error < 6.2e-15

(3) In alternativa, e con più sicurezza, potremmo simulare il fenomeno con questo script, in cui descriviamo esattamente il fenomeno con le righe:
U=0; for (i=1; i<101; i=i+1) {if (random()<=0.12) {U=U+1}};
if (U>=10 && U<=14) {V=1} else {V=0}
ottenendo:

Approssimazione (con una confidenza del 99.7%) della probabilità di un evento
...
n=1000000 55.8338% +/- 0.14897557917915003%
n=800000 55.84775% +/- 0.16655427838907783%
n=600000 55.862% +/- 0.1923138476060074%
n=400000 55.7935% +/- 0.23557362816476446%
n=100000 55.919% +/- 0.4710086071411859%
n=50000 56.016% +/- 0.6659536498926003%
n=20000 55.525% +/- 1.0541911755946998%
n=10000 56.13% +/- 1.488758687713702%

(4) Col software statistico R (vedi) basta battere:
sum(dbinom(10:14, 100, 0.12))
per ottenere: 0.5583493

Per altri commenti: Limiti in probabilità neGli Oggetti Matematici.