Sotto a sinistra è riprodotto l'istogramma di un rilevamento sperimentale relativo alla variabile casuale U; media e mediana (sperimentali) sono rispettivamente 99.90 e 99. Siano X=1.0010, Y=1.0129, H=1.0101, K=1.0021. Come è la distribuzione sperimentale di 100/U? [tieni conto che 100/99=1.01010... e che 100/99.9=1.00100...]
(A) istogramma al centro, media=Y, mediana=H     (B) istogramma al centro, media=X, mediana=K (C) istogramma a destra, media=X, mediana=K     (D) istogramma al centro, media=X, mediana=K (E) istogramma a destra, media=X, mediana=H

# x 100/x è decrescente, per cui i valori sperimentali di 100/U sono in ordine inverso rispetto a quelli U, e il dato centrale viene trasformato in un dato che rimane al centro dell'elenco ordinato dei trasformati dei dati . Quindi la mediana viene trasformata nella mediana: dobbiamo scegliere tra (A) ed (E). Possiamo ragionare riferendoci alla media o alla forma dell'istogramma.
# Quanto osservato per la mediana (il dato mediano viene trasformato in quello mediano) non accade per la media: la cosa accadrebbe se la nuova variabile casuale fosse ottenuta come funzione lineare di U (ad es. 100+3*U), o se la distribuzione iniziale fosse perfettamente simmetrica (ma il fatto che media e mediana sono diversi ce lo fa escludere); ma non è questo il caso. Dobbiamo dunque escludere che la media M' dei nuovi dati sia esattamente uguale a 100/M, se M è la media dei dati originali. Ci rimane da scegliere (A).
# Potevamo arrivare a questa conclusione (meglio A che E) anche osservando gli istogrammi: l'applicazione di x 100/x trasforma i dati minori di 100 in numeri molto maggiori (si pensi al suo grafico, che ha un asintoto verticale per x=0), per cui l'istogramma iniziale viene allungato con una coda verso destra; per motivi opposti (i numeri maggiori di 100 vengono ridotti e fatti avvicinare a 0) l'istogramma tende ad accorciarsi a sinistra. Il grafico al centro è quello che assume questo aspetto rispetto a quello dei dati iniziali.
Ovviamente i due ragionamenti sono collegati: il fatto che si crei una coda verso destra fa aumentare la media.

Il quesito non è banale. In un test sottoposto a una ventina di laureati in corsi di laurea in cui si affrontano questi argomenti (matematica, fisica, ingegneria ed economia) solo il 13% ha risposto correttamente; quasi tutti gli altri (il 74%), invece che, prudentemente, non rispondere, hanno scelto (E), ritenendo che la media si conservi. Purtroppo questo fatto, banalmente confutabile (la media di 1 e 10 è 5.5, la media di 1/1 e 1/10 è 0.55, maggiore di 1/5.5 (≈ 1/5 = 0.2), è una credenza diffusa, spesso consolidata nell'insegnamento della fisica (in cui c'è chi dice che la media delle misure sperimentali all'aumentar delle prove converge alla misura esatta, il che non accade quasi mai: se delle velocità sono misurate con una apparecchiatura che rileva dei tempi e le misurazioni dei tempi hanno distribuzione simmetrica, e quindi media che converge al valor vero, lo stesso non può accadere per le velocità, che sono ottenute mediante una trasformazione del tipo x k/x).