Data la variabile aleatoria U=X+Y con X e Y variabili aleatorie con distribuzione uniforme in [0,1), calcola Pr(0.5 < U < 1.2).  [traccia: pensa (X,Y) come punto di un quadrato e X+Y=k come segmento].

Pr(U < t) = t2/2 se t < 1: vedi figura a lato. Pr(1/2 < U < 1.2) = 1 - Pr(0 < U < 1.2) - Pr(1.2 < U < 2). Pr(0 < U < 1.2) = 1/22/2 = 1/8. Per simmetria Pr(1.2 < U < 2) = Pr(0 < U < 0.8) = 1/0.82/2. In definitiva Pr(1/2 < U < 1.2) = 1-1/8-1/0.82/2 = 0.555.

In alternativa posso considerare che la funzione densità di U ha il grafico a lato (y=x per x≤1, y=2-x per x>1) per cui la probabilità cercata è: ∫[0.5,1] x dx + ∫[1,1.2] 2-x dx = 1/2-1/8 + 2.4-1.22/2-2+1/2 = 0.555.

  Per altri commenti: Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici.

Ecco il calcolo dell'integrale con WolframAlpha (vedi):

Altri calcoli qui.