Una variabile casuale ha una legge di distribuzione con densità definita su [0,2]  da:  x → 3/8x2.  Verificare che questa è effettivamente una fuzione di densità e determinarne media, mediana, 25° percentile, 75° percentile e scarto quadratico medio.  Calcolare la probabiltà che la variabile assuma valori che distino dalla media meno dello scarto quadratico medio.
• A lato è tracciato il grafico delle nostra funzione; chiamiamola h.  h(0) = 0, h(2) = 1.5. Per verificare che è una funzione densità calcoliamo  ∫ [0,2] f.

∫ _[0,2] f = ∫ _[0,2] 3/8x² dx = [x³/8]_x=2 − [x³/8]_x=0 = 1−0 = 1. OK.
• Media = ∫ _[0,2] x·f(x) dx = ∫ _[0,2] 3/8x³ dx = [3/8x⁴/4] _x=2 = 3/2 = 1.5.
• La mediana è il valore M tale che ∫ _[0,M] f(x) dx = 1/2, ossia M³/8 = 1/2, ossia M = ³√4 = 1.5874....
• Il 25° percentile è il numero p tale che  ∫ _[0,p] f = 1/4, ossia tale che  p³/8 = 1/4, ossia tale che  p³ = 2,  ossia p = ³√2.
• Il 75° percentile è il numero p tale che  ∫ _[0,p] f = 3/4, ossia tale che  p³/8 = 3/4, ossia tale che  p³ = 6,  ossia p = ³√6.
• Varianza = ∫ _[0,2] (x−3/2)²·f(x) dx = ∫ _[0,2] (x−3/2)²·3/8x² dx = 3/20.
Sc. quad. medio = √(3/20) = √15/10 = 0.3872983 (arrotondamento).
• Indichiamo con σ lo sc.quad.medio. Dobbiamo valutare ∫ _{[3/2−σ, 3/2+σ]} f.
[x³/8]_x=3/2+σ − [x³/8]_x=3/2−σ = 0.6680896 (arrotondamento).

( Si noti come [25°percentile, 75°percentile] = [³√2, ³√6] = [1.2599, 1.8171], in cui cade il 50% dei valori, o altri intrevalli riferiti ai percentili, siano in questo caso più significativi dell'intervallo [m−σ, m+σ] = [1.1127, 1.8873], simmetrico rispetto alla media m senza che questa sia molto vicina alla mediana )

Per altri commenti: Leggi di distribuzione (continue) neGli Oggetti Matematici.

Calcoli effettuati col software online WolframAlpha (vedi):

Effettuazione dei calcoli con un programma (ad es. R):

f <- function(x) 3/8*x^2; integrate(f,0,2)
# 1    l'intergrale deve esse 1
g <- function(x) x*f(x); integrate(g,0,2)
# 1.5  la media
# mediana: integrate(f,0,mediana)$value = 1/2
I <- function(x) integrate(f,0,x)$value-1/2
uniroot(I, c(0,2), tol=1e-10 )$root # cerco la soluzione di I(x)=0
# fisso una tolleranza che mi assicuri una decina di cifre
# 1.587401    E' 4^(1/3), infatti
4^(1/3)
# 1.587401
I <- function(x) integrate(f,0,x)$value-1/4
uniroot(I,c(0,2), tol=1e-10)$root
# 1.259921      primo quartile
2^(1/3)
# 1.259921
I <- function(x) integrate(f,0,x)$value-3/4
uniroot(I,c(0,2), tol=1e-10)$root
# 1.817121      terzo quartile
6^(1/3)
# 1.817121
v <- function(x) (x-3/2)^2*f(x); s <- sqrt(integrate(v,0,2)$value); s
# 0.3872983     sqm
integrate(f, 3/2-s, 3/2+s)
# 0.6680896      probabilita' cercata