Supponiamo di avere a disposizione moltissimi dati con media e scarto quadratico medio pari a 23. Trova la probabilità che un dato cada in [10,16] e quella in cui cada in [0,10] sia nel caso che i dati abbiano distribuzione gaussiana che in quello che la abbiano esponenziale negativa. Trova la mediana nei due casi.

Nel caso della gaussiana facciamo i calcoli con del software, ad es. con R:

m <- 23; s <- 23
f1 <- function(x) dnorm(x, mean=m, sd=s)
integrate(f1, 10,16); integrate(f1, 0,10)
# 0.0944685           0.1273077
# La mediana so che coincide con la media essendo la distribuzione
# simmetrica. Comunque:
integrate(f1,23,Inf)
# 0.5

Nel caso dell'esponenziale - x → 1/23*exp(-x/23) - posso calcolare l'integrale indefinito trovando -exp(-x/23) da cui ad esempio l'integrale tra 10 e 16 è -exp(-16/23)+exp(-10/23) = 0.148656….
La mediana è la soluzione rispetto da x di exp(-x/23)=1/2, ossia di 2=exp(x/23), ossia è 23*log(2).
Posso controllare i calcoli con R (in cui, volendo, è già predefinita anche la distribuzione esponenziale):

f2 <- function(x) dexp(x,rate=1/m)
integrate(f2, 10,16); integrate(f2, 0,10)
# 0.1486563           0.3525946
integrate(f2,23*log(2),Inf)
# 0.5

Posso anche controllare i calcoli con WolframAlpha, battendo:
solve 1/2 = integrate 1/23*exp(-x/23) dx from 0 to t for t
trovo la soluzione 23*log(2), ed anche l'equivalenza a
solve 1-exp(-x/23) = 1/2 for x.