Devo sollevare 25 casse, scelte a caso da un grosso lotto, aventi il peso medio di 300 kg con deviazione standard di 50 kg. Il montacarichi di cui dispongo ha un limite di sicurezza di 8200 kg.
Qual è la probabilità che il peso delle 25 casse non superi il limite di sicurezza?
Quante casse posso caricare se voglio rimanere sotto alla soglia di sicurezza con probabilità del 99.9%?

Prima domanda. Il campione è numeroso; posso supporlo infinito. Esprimiamoci in kg. La distribuzione delle medie è gasussiana con valor medio 300 e deviazione standard 50/√(25) = 10. Il limite di sicurezza è raggiunto se il peso medio M (in kg) delle casse supera 8200/25 = 328. Devo calcolare Pr(M < 328). Facciamo i calcoli ad esempio con questo script online:

0.99744486967  if a = -inf  b = 328,  m = 300  sigma = 10

Ottengo  0.997 (valore arrotondato).

Seconda domanda. Devo trovare nc tale che Pr(M < 8200/nc) ≤ 0.999. Usiamo lo stesso script procedendo per tentativi:

Posso prendere nc tale che 330.9 = 8200/nc, ossia nc = 8200/330.9 = 24.7809... che devo approssimare per difetto:  al massimo posso caricare 24 casse.

Per approfondimenti limiti in probabilità

Posso fare i calcoli anche con R (vedi). Prima domanda:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")   # If I have not loaded the library
z = function(x) dnorm(x, mean=m, sd=s)
m=300; s = 50/sqrt(25)
nc=25; integral(z, -Inf, 8200/nc)
#  0.9974449

Seconda domanda. Devo trovare nc tale che Pr(M < 8200/nc) ≤ 0.999
Possiamo procedere in vari modi. Usando il computer, partendo dal valore N=25 della prima domanda:

N=25; integral(z, -Inf, 8200/N)
#  0.9974449
N=24; integral(z,-Inf,8200/N)
#  0.9999845