Abbiamo le collezioni di dati:  x = c(10,20,30,40,50), y = c(45,35,30,25,10) e w = c(35,15,20,30,10).  C'è una correlazione significatica tra x e y?  E tra x e w?

Facciamo grafici e calcoli sia con WolframAlpha che con R

Con WolframAlpha:

plot (10,45);(20,35);(30,30);(40,25);(50,10) color brown
correlation coefficient [(10,20,30,40,50), (45,35,30,25,10)]
Result: -0.977356   P-value: 0.00407658
plot (10,35);(20,15);(30,20);(40,30);(50,10) color brown
correlation coefficient [(10,20,30,40,50), (35,15,20,30,10)]
Result: -0.533745   P-value: 0.354224

In entrambi i casi otteniamo una correlazione negativa. I dati sono pochi. Quanto sono affidabili i valori ottenuti? Ce ne dà un'indicazione il p-value.
Che cos'è?  È la probabilità di ottenere, con una data quantità di dati (4 in questi casi), quel coefficiente di correlazione nell'ipotesi che le due variabili fossero totalmente scorrelate (ossia che il coefficiente di correlazione fosse effettivamente 0).
Nel primo caso abbiamo ottenuto 0.408%, nel secondo 35.4%:  nel caso iniziale c'è una probabilità bassa che i dati siano scorrelati,  nel secondo caso c'è una probabilità alta che i dati siano scorrelati.
Spesso si assume come soglia convenzionale per la possibile esistenza di una correlazione un p-value non superiore al 5%. Per approfondimenti vedi.

Con R (vedi).

x = c(10,20,30,40,50); y = c(45,35,30,25,10); w = c(35,15,20,30,10)
BF=3; HF=3
Plane(0,60, 0,50); polyli(x,y, "brown"); POINT(x,y, "brown")
Plane(0,60, 0,50); polyli(x,w, "brown"); POINT(x,w, "brown")
# Ho congiunto i punti solo per visualizzarli meglio

cor(x,y); cor(x,w)
#  -0.9773556  -0.533745
## I dati sono pochi. Per avere una valutazione che tenga conto della
# quantità dei dati battiamo
cor.test(x,y)
# 95 % confidence interval:  -0.9985684 -0.6904926
# sample estimates:     cor  -0.9773556 
cor.test(x,w)
# 95 % confidence interval:  -0.9626802  0.6587127
# sample estimates:     cor  -0.533745 

Per altri commenti: correlazione tra var. casuali.