In un esperimento sulla crescita del grano durante l'inverno si registrano la temperatura media (in °C) del suolo ad una profondità di 8 cm e i giorni necessari per la germogliazione. Qual è la correlazione tra temperatura del suolo e tempo necessario per la germogliazione?
T = c(5,5.5,6,6.5,7,7.5,8,8.5)
g = c(40,36,32,27,23,19,19,20)


x: 5,5.5,6,6.5,7,7.5,8,8.5   y: 40,36,32,27,23,19,19,20
y = -6.380952380952381 * x + 70.07142857142858
correl. coeff.: -0.9557784332743721

Con questo script ottengo le uscite precedenti.

Il grafico a lato è stato ottenuto con questo script, in cui oltre ai punti ho rappresentato la retta di regressione.

Come coefficiente di correlazione ho ottenuto −0.96:  c'è, nell'intervallo di temperature considerato, una forte proporzionalità (negativa) tra le due variabili.

Il coefficiente di correlazione √® abbastanza vicino ad 1. E i punti non sono pochi e appaiono abbastanza allineati. Ma il coefficiente di correlazione non tiene conto della quantit√† dei dati (se i punti sono pochi è più facile trovare una retta che passi vicino ad essi). Per avere certezza della forte correlazione tra le due variabili posso procedere utilizzando il software online WolframAlpha. Vediamo come.

    

Se introduco:

correlation coefficient [(5,5.5,6,6.5,7,7.5,8,8.5), (40,36,32,27,23,19,19,20)]

Ottengo:   result   -0.955778
The null hypothesis that the populations are independent is rejected at the 5 percent level based on the Pearson Correlation test.
p-value   0.000209086

Che cos'è "p-value"?  È la probabilità di ottenere, con una data quantità di dati (8 nel nostro caso), il coefficiente di correlazione (-0.955778) nell'ipotesi che le due variabili fossero totalmente scorrelate (ossia che il coefficiente di correlazione fosse effettivamente 0).
Ottengo 0.0209%:  c'è una probabilità bassa che i dati siano scorrelati.
Spesso si assume come soglia convenzionale per la possibile esistenza di una correlazione un p-value non superiore al 5%. Per approfondimenti vedi.

Per altri commenti: correlazione tra var. casuali.

Con R posso ottenere:

cor.test(T,g, conf.level = 0.95)
95 percent confidence interval:
 -0.9921962 -0.7691091

L'intervallo di confidenza al 95% è l'intervallo in cui, con la probabilità del 95%, cade il valore esatto del coefficiente di correlazione.

Sotto la rappresentazione grafica dei punti (e il tratteggio della retta di regressione).