Per studiare la legge di distribuzione dell'errore delle misure rilevate mediante un radioaltimetro si effettuano 400 misure, ottenendo i seguenti risultati:

intervallo  [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100)
frequenza     21      72      66      38      51      56      64      32

Si verifichi (mediante il test χ²) la conformità della distribuzione uniforme (avente media e varianza uguali alla media e alla varianza sperimentali) con la distribuzione sperimentale.

Calcolo a mano o con R (vedi sotto) media e varianza, e traccio l'istogramma.

interv <- c(20,30,40,50,60,70,80,90,100)
freq <-     c(21,72,66,38,51,56,64,32)
source("http://macosa.dima.unige.it/om/prg/r/daticlas.txt")
  In  Centri  trovi i centri degli intervalli.
        Frequenze percentuali e summary:                                
  5.25 18.00 16.50  9.50 12.75 14.00 16.00  8.00
 Min.   1st Qu. Median  Mean   3rd Qu.  Max. 
 20.00  41.06   60.59   60.25   79.29  100.00
sum(freq); v <- var(rep(Centri,freq))*(n-1)/n; v; sqrt(v)
[1] 400
[1] 448.9375
[1] 21.18815

La distribuzione uniforme in [a,b) deve avere (a+b)/2=60.25 e (b–a)2/12=448.94. Risolvendo il sistema ottengo a=23.55, b=96.95. Posso calcolare χ2 con R ottenendo 21.6.     I gradi di libertà sono 8–3=5 (tolgo 3 invece di 1 perché ho imposto anche media e varianza, ovvero a e b). 21.6 è ben oltre il 97° percentile. Rigetto quindi l'ipotesi dell'uniformità.

n <- sum(freq); a <- 23.55; b <- 96.95; L <- b-a; pr <- 0
pr[1] <- (30-a)/L; pr[8] <- (b-90)/L
for(i in 2:7) pr[i] <- 10/L
chi2 <- sum((freq-n*pr)^2/(n*pr)); chi2
[1] 21.57478
round(qchisq(c(2.5,5,10,20,30,50,70,80,90,95,97.5)/100, df=5),1)
[1]  0.8  1.1  1.6  2.3  3.0  4.4  6.1  7.3  9.2 11.1 12.8

  Per altri commenti: Test χ² neGli Oggetti Matematici.