Di un cavo di gomma prodotto industrialmente sono stati esaminati tratti consecutivi lunghi ciascuno 100 m e si sono individuati quanti sono i difetti in ciascuno di essi. Si è ottenuta la seguente distribuzione

numero difetti riscontrati	0	1	2	3	4	5
numero tratti con tale numero di difetti	35	45	40	23	4	3

Calcola le frequenze attese secondo la legge di Poisson con la stessa media di questa distribuzione e valuta (con un test χ²) la possiblità di approssimare la distribuzione con tale legge.

Le osservazioni sono 150. Il numero medio di difetti per tratto è 225/150 = 3/2.
La legge di Poisson è dunque Pr(N=k) = (3/2)^kexp(-3/2)/k!.
Il numero atteso di tratti con k difetti è Pr(N=k)·150.
Possiamo calcolare χ² con una calcolatrice, un foglio di calcolo o altro software. Ecco come trovarlo con un foglio di calcolo; qui sotto sono indicate le formule inserite nelle celle della riga 2 e poi copiate in basso; le formule sono quelle nel caso in cui il foglio di calcolo sia impostato in lingua italiana.
B2:   =(3/2)^A2*EXP(-3/2)/FATTORIALE(A2)
C2:   =B2*150
E2:   =(D2-C2)^2/C2
F2:   =SOMMA(E2:E7)
Nella colonna osservati sono state inserite le frequenze osservate.

	A	B	C	D	E	F
1	K	Pr(N=k)	Attesi	Osservati	(Os-At)^2/At	χ2
2	0	0.2231	33.4695	35	0.0700	3.37
3	1	0.3347	50.2043	45	0.5395
4	2	0.2510	37.6532	40	0.1463
5	3	0.1255	18.8266	23	0.9251
6	4	0.0471	7.0600	4	1.3263
7	5	0.0141	2.1180	3	0.3673

Si noti l'alto contributo (1.3...) a χ² dato dal valore per k=4. Nei casi in cui in una modalità cadano pochi valori attesi rispetto alle atre può essere conveniente raggruppare più modaliotà in modo da avere contributi più equilibrati. Nel nostro caso potremmo raggruppare i casi da k=4 a k=7 (in cui praticamente cadono tutti i valori attesi per k>3: per k=7 sono attesi 0.1 tratti) e calcolare χ² come nel modo indicato sotto (vedremo, comunque, che nel nostro caso i due procedimenti danno più o meno lo stesso esito).

0	0.2231	33.4695	35	0.0700	2.48
1	0.3347	50.2043	45	0.5395
2	0.2510	37.6532	40	0.1463
3	0.1255	18.8266	23	0.9251
4	0.0471
5	0.0141	9.8	7	0.8000
6	0.0035	[0.53]
7	0.0008	[0.1]

I gradi di libertà nei due procedimenti cambiano. Nel primo abbiamo 6 classi (k=0,...,k=5), un vincolo dovuto alla imposizione che le uscite in tutto siano 150 e un altro vincolo dovuto alla imposizione che la media sia 3/2. Quindi 6-2=4 gradi di libertà.
3.37 corrisponde (vedi sotto) alla mediana, un valore "normalissimo". Non ci sono motivi per rifiutare l'ipotesi che la distribuzione sia effettivamente di Poisson.

grado di                          percentili
libertà   2.5%   5%   10%   20%   30%   50%   70%   80%   90%   95%   97.5%

3        0.2    0.4   0.6   1.0   1.4   2.4   3.7   4.6   6.3   7.8   9.4
4        0.5    0.7   1.1   1.6   2.2   3.4   4.9   6.0   7.8   9.5  11.1

  Per altri commenti: Test χ² neGli Oggetti Matematici in cui trovi anche come svolgere i calcoli più facilmente con R.