Un'indagine
sul peso dei maschi tra i 45 e i 55 anni di un certo stato dà i seguenti esiti (a sinistra gli intervalli di peso in kg - [53.5, 60.5) rappresenta i pesi che arrotondati vanno da 54 a 60 -, a destra le frequenze assolute): [53.5, 60.5) 4 [60.5, 67.5) 39 [67.5,74.5) 122 [74.5, 81.5) 197 [81.5, 88.5) 192 [88.5, 95.5) 126 [95.5, 102.5) 93 [102.5, 109.5) 33 [109.5, 116.5) 16 [116.5, 123.5) 2 [123.5, 130.5) 1 Questi 825 rilevamenti hanno media 84.30 e scarto quadratico medio (campionario) 11.5. Suppongo che i pesi abbiano distribuzione normale avente tali valori come media e scarto quadratico medio (vedi figura a lato) e ottengo 29.3 come χ². | |
(1) Quanti sono i gradi di libertà?
(2) Devo rifiutare l'ipotesi che la distribuzione sia normale? (A) 10,no (B) 9,no (C) 8,no (D) 7,no (E) 10,sì (F) 9,sì (G) 8,sì (H) 7,sì | |
(3) Se i dati fossero stati 1650, con la stessa distribuzione, avrei ottenuto
un valore χ² diverso? (A) no (B) non abbiamo informazioni sufficienti per stabilirlo (C) doppio (D) quadruplo (E) metà (F) un quarto |
(1), (2).
11 intervalli e 3 vincoli: 1) la somma delle frequenze relative è 1, 2) la media e 3) la varianza sono date. Dunque i gradi di libertà sono 11-3 = 8.
Vedi
il test χ2 neGli Oggetti Matematici.
d.f. 5 10 25 50 75 90 95 1 0.00393 0.0158 0.102 0.455 1.32 2.71 3.84 2 0.103 0.211 0.575 1.39 2.77 4.61 5.99 3 0.352 0.584 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 4 0.711 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 5 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.1 6 1.64 2.20 3.45 5.35 7.84 10.6 12.6 8 2.73 3.49 5.07 7.34 10.2 13.4 15.5 |
Il valore 29.3 è ben oltre il percentile di ordine 95 (15.5): l'ipotesi deve essere decisamente rigettata (risposta G).
(3).
È chiaro che se con più prove l'istogramma avesse avuto la stessa "distanza"
dalla densità teorica ciò significherebbe che l'adattamento
è peggiore (con più dati l'approssimazione dovrebbe migliorare). Quindi sicuramente
χ2 è maggiore. Doppio o quadruplo? Dall'esame di
Se i dati fossero stati, invece, 200, ossia circa 1/4 di quelli del quesito, avrei ottenuto circa χ2 = 7, attorno al 50º percentile. Non avrei, dunque, scartato l'ipotesi della normalità (anche se noi sappiamo - limiti in probabilità - che i pesi non hanno andamento gaussiano).
Vediamo come è ottenibile l'istogramma con questo script:
Con questa calcolatrice e lo stesso input ottengo la deviazione standard (sc. quadratico medio campionario) 11.512120836524915, arrotondabile con 11.5:
Posso fare il grafico della gaussiana col software online WolframAlpha:
Ho sovrapposto grafico e istogramma usando Paint, anche per scalare l'immagine dell'istogramma (ma si potrebbe usare una qualunque applicazione grafica). Questo è il procedimento più facile. Sarebbe facile anche utilizzare uno script: vedi.
Come è stato calcolato χ² ? Con WolframAlpha:
Con lo script test χ2: