Presso una particolare agenzia arrivano chiamate con una densità di 50 all'ora. Supponiamo che, per diverse ore, il numero di chiamate sia distribuito secondo la legge di Poisson.  (1) Qual è la probabilità che vi siano 3 chiamate in 2 minuti?  (2) E che ve ne sia almeno una?  (3) E che ve ne siano non meno di 3?

(1) Il numero medio di chiamate arrivate in 2 minuti è 2·50/60 = 50/30 = 5/3. Sia N il numero di chiamate che arrivano. Pr(N=3) = (5/3)³/3!·exp(−5/3) = 0.1457373 = 14.6%
(2) L'evento che vi sia almeno una telefonata è il complementare di quello che non ve ne siano, quindi la sua probabilità è 1 − Pr(N=0) = 1 − exp(−5/3) = 0.8111244 = 81.1%.  Col computer (vedi sotto) potevo anche calcolare Pr(N=1)+Pr(N=2)+….
(3) 1 − (Pr(N=1)+Pr(N=2)+Pr(N=3)) = 1-exp(−5/3)·(1+5/3+(5/3)²/2) = 0.2340045 = 23.4%.

Le elaborazioni con questa calclaatrice:

pow(5/3,3)/(3*2)*exp(-5/3)*100 = 14.57373478684891
round to 1^ digit after units: 14.6
(1-exp(-5/3))*100 = 81.11243971624383
round to 1^ digit after units: 81.1
(1-exp(-5/3)*(1+5/3+pow(5/3,2)/2))*100 = 23.400449960322135
round to 1^ digit after units: 23.4

Per altri commenti: Altre leggi di distribuzione neGli Oggetti Matematici.

    Sotto i calcoli fatti con R:

P = function(n) a^n/factorial(n)*exp(-a); a = 5/3
P(3)                  # (1)
#  0.1457373
1-exp(-5/3)           # (2)
#  0.8111244    Potevo anche calcolarlo così:
sum(P(seq(1,11,1))); sum(P(seq(1,12,1))); sum(P(seq(1,13,1)))
#  0.8111242   0.8111244   0.8111244
1-sum(P(c(0,1,2)))    # (3)
#  0.2340045
# ALTERNATIVA (vedi):
dpois(3, lambda = 5/3)
# 0.1457373
1-dpois(0, lambda = 5/3)
# 0.8111244
# 1-(dpois(0, lambda = 5/3)+dpois(1, lambda = 5/3)+dpois(2, lambda=5/3))
# 0.2340045        O:
1-sum(dpois(0:2,lambda=5/3))
# 0.2340045