Voglio stimare la probabilità con cui, prendendo "a caso" un punto in un bersaglio composto da due cerchi concentrici con raggi uno doppio dell'altro, il punto cade nel cerchio centrale. Considero due possibili procedimenti, di cui puoi esaminare una versione come "script" (bersaglio) o in R (vedi qui), mediante i quali viene generato un punto che cade nel cerchio di centro O=(0,0) e raggio 1 e verificato se la sua distanza da O è minore di 1/2 (ovvero se il quadrato di essa è minore di 0.25):

 x=random()*2-1; y=random()*2-1;
 if (x*x+y*y<1) {lanci=lanci+1; if (x*x+y*y<0.25) {ok=ok+1} }

 r=random(); a=random()*atan(1)*8; x=r*cos(a); y=r*sin(a);
 lanci=lanci+1; if (x*x+y*y<0.25) {ok=ok+1}

Confrontane gli esiti e discutili.

Con il primo procedimento ottengo esiti simili ai seguenti:
n.lanci   % OK
7856   25.58554
Col secondo: 
 
n.lanci   % OK
10000   50.01

Rappresentazione grafica
con gli script:
Con R:

Dunque nel primo caso ho una probabilità di circa il 25%, nel secondo di circa il 50%. Come mai questa differenza?

La questione è discussa nel primo paragrafo della voce sistemi di variabili casuali deGli Oggetti Matematici.