Ci sono quattro pali allineati. So che il primo palo è alto 9.5 m (potrebbe essere 5 cm in più o in meno: le misure sono approssimate) e che l'ultimo è alto 15.0 m.  Degli ultimi tre pali riesco a misurare le ombre; sono lunghe 15.6 m, 8.4 m, 19.5 m. Del primo palo non riesco a misurare l'ombra in quanto il cielo si rannuovola.  Quanto sono alti il secondo e il terzo palo?  Quanto sarebbe stata lunga l'ombra del primo palo?   (se vuoi, per risolvere il problema puoi utilizzare la carta millimetrata) 

Alla stessa ora, le lunghezze delle ombre di pali verticali sono proporzionali alle lunghezze dei pali, ossia il rapporto tra lunghezza del palo e lunghezza dell'ombra è sempre lo stesso.  Ecco come risolvere il problema "graficamente"  (congiungo il punto (0,0) col punto (195,150) mediante un segmento, poi traccio la retta verticale che passa per (156,0) fino a che incontra il segmento e quindi traccio la retta verticale che passa per il punto di intersezione fino a che raggiungo l'asse verticale; lo incontra alla quota 12;  poi …):

Sotto, a sinistra, i valori che otterrei.  A destra quanto potrei ottenere i valori con un procedimento (con R) che automatizza il procedimento (e che può essere impiegato dopo aver imparato a procedere "a mano" sulla carta millimetrata).

La carta millimetratata potrei ottenerla anche con lo script online disegnare(4b): vedi QUI;  posso tracciare anche la retta che rappresenta la proporzionalità:


,v &195&a &150&b w, - &195&a &150&2 &195&3

Vediamo come risolvere il problema numericamente, utilizzando il fatto che il rapporto tra lunghezza del palo e lunghezza dell'ombra è sempre 15.0/19.5, rapporto che posso scrivere in modo più comodo raddoppiando i termini di esso: 30/39.
Da ?/8.4 = 30/39  moltiplicando entrambi i termini per 8.4 ottengo: ? = 30/39·8.4 = 6.461538. Arrotondo il valore ottenuto con la calcolatrice, dato che i valori di partenza erano arrotondati: 6.5.
Analogamente da  ?/15.6 3= 30/39  ottengo  ? = 30/39·15.6 = 12.
Da  9.5/? = 30/39  posso ottenere l'eguaglianza equivalente  ?/9.5 = 39/30  da cui ottengo  ? = 39/30·9.5 = 12.35.


# Come è stata fatta la figura precedente con R (vedi):
#
source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
BF=5;HF=3
OUTPUT=15; RATIO(19.5,15)
OUTPUT=9.5; rATIO(19.5,15)
INPUT=15.6; rATIO(19.5,15)
INPUT=8.4; rATIO(19.5,15)
#
# Anche la figura del testo è stata fatta con R:
BF=4;HF=4
PLANEww(0,40,-20,20)  # PLANE(0,40,-20,20)  # prima uso questo, con la griglia
segm(20,0,20,15.0,"seagreen")
segm(20,0,20-15.0*0.5,-15.0*0.8,"black")
segm(5,0,5,9.5,"seagreen")
segm(5,0,5-9.5*0.5,-9.5*0.8,"black")
R = 15/19.5
segm(10,0,10,15.6*R,"seagreen")
segm(10,0,10-15.6*R*0.5,-15.6*R*0.8,"black")
segm(15,0,15,8.4*R,"seagreen")
segm(15,0,15-8.4*R*0.5,-8.4*R*0.8,"black")
type(5,12,"9.5 m"); type(24,12,"15.0 m")
type(20,-7.5,"19.5 m"); type(11,-6.5,"8.4 m"); type(4,-11,"15.6 m")
type(1,-3,"?"); type(12,8,"?"); type(17,4,"?")
text(25,4,"pali",font=3); text(25,-3.5,"ombre",font=3)
#
# Il diagramma su carta millimetrata
mmpaper(200,150)
Point(0,0, "blue")
Point(195,150, "blue")
line(0,0, 195,150, "blue")
text(-5,150,"150",cex=0.7)
text(195,-3,"195",cex=0.7)
text(84,-3,"84",cex=0.7)
text(156,-3,"156",cex=0.7)
text(0,-3,"0",cex=0.7)
text(-3,0,"0",cex=0.7)
text(-4,95,"95",cex=0.7)
text(-4,65,"?",cex=0.7)
text(-4,120,"?",cex=0.7)
line(156,0, 156,120, "blue")
line(0,120, 156,120, "blue")
line(84,0, 84,64.6, "blue")
line(0,64.6, 84,64.6, "blue")
line(0,95, 123.5,95, "blue")
line(123.5,0, 123.5,95, "blue")
text(123.5,-3,"?",cex=0.7)