Sappiamo che un piccolo oggetto introdotto in un ambiente a temperatura costante, diversa da quella dell'oggetto, cambia temperatura con una velocità proporzionale alla differenza tra la temperatura dell'ambiente e la temperatura dell'oggetto stesso. Se una tazza di tè alla temperatura iniziale di 90° in un ambiente di 20° si raffredda a 60° in 6 minuti, quanto tempo impiega a raggiungere i 30°?

Sia T la differenza (in gradi) della temperatura del tè dalla temperatura ambiente. Esprimiamo T in funzione del tempo, assumendo 6 minuti come unità per questo. Sappiamo che T(0) = 90-20 = 70 e che T(1) = 60-20 = 40. Dobbiamo trovare per quale t  T(t) = 30-20 = 10.  Schizziamo la situazione (qui il grafico Ŕ quello corretto, fatto col computer, come spiegato sotto, ma schizzando a mano il grafico otterremo qualcosa di simile); capiamo che ci vorranno in tutto 3 o 4 volte 6 minuti.

Facciamo i conti. Se la velocitÓ di variazione di T Ŕ proporzionale al valore di T abbiamo che l'andamento di T è esponenziale: T(t) = 70*at.  Sappiamo che T(0) = 70*a1 = 40,  dunque  a = 40/70.  Invece che fare i calcoli a mano, continuiamo usando R:

source("http://macosa.dima.unige.it/r.R")
T = function(t) (40/70)^t*70
S = solution(T,10, 0,100); S   # risolvo numericamente l'equazione
# 3.477225
S*6
# 20.86335  ho espresso il tempo in minuti invece che nella unità scelta
S*6 - 6
# 14.86335 il tempo che trascorre dopo i 6 minuti iniziali
# il grafico:
Plane(0,5, 0,70); T = function(t) 70*a^t; a=40/70
graph2( T, 0,5, "brown"); POINT(0,T(0),"red"); POINT(1,T(1), "red"); POINT(S,T(S), "red")
Ci vogliono dunque quasi 15 minuti perché il tè si raffreddi da 60° a 30°.